0.999…等于1的证明,四个!
学术
教育培训
2024-09-07 23:05
湖南
最近刷视频号,看到许多人对于0.999…等于1不是很理解,我想到曾经写过这个问题的文章,今天打算在那篇文章的基础上再来说一说0.999…等于1的证明。
一共给出四个证明,前两个是利用小学的知识,后两个利用一些数学的常用证明方法。第1个:
按照我们学过的知识,应该不难发现乘、除法具有这样的特征:a除以b再乘以b,其结果依旧等于a,即:a÷b×b=a。同样的:a乘以b再除以b,其结果依旧等于a,即:a×b÷b=a。由此,6÷3×3=6×3÷3,4÷5×5=4×5÷5。下面,我们按照同级运算的计算法则从左至右来分别计算1÷3×3=1×3÷3的等号的左右两边的式子吧。再按照从左至右的顺序计算1×3÷3,我们看计算结果:因为1÷3×3=1×3÷3,而按照从左往右的顺序进行计算发现:等号左边1÷3×3的结果是0.999…,右边1×3÷3的计算结果是1。第2个:
令x=0.666...,那么10x=6.666...
令x=0.999...,那么10x=9.999...第3个:
要证明0.999…=1,我们先假设0.999…不等于1,如果假设造成矛盾,那么假设不成立,则可以得出0.999…=1,证明如下:假设0.999…不等1,那么根据有理数的稠密性(即任意两个不相等的有理数之间至少存在着一个数),就可以在0.999…和1之间找到至少一个数a,使得a比0.999…和1中的一个数小而比另一个数大。但是无论怎么找,也无法找到这样的一个数a。这就产生了矛盾,所以,0.999…=1。第4个:
0.999…=0.9+0.09+0.009+0.0009+…… ①
0.999…=(9/10)+(9/10^2)+(9/10^3)+(9/10^4)+…… ②可以发现“=”的右边是一个等比数级,第一项是9/10,公比是1/10,根据等比数级的求和公式:我们可以得出前n项的右边的结果,这里n不论有多大:
当n→∞时,正好是②中右边的和,这时是0,那么右边的部分的和是:n→∞时,(本篇中的像0.999…这样的小数表示的是从十分位开始,循环节为9的循环小数。)