0.999…等于1的证明，四个！
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2024-09-07 23:05
湖南
最近刷视频号，看到许多人对于0.999…等于1不是很理解，我想到曾经写过这个问题的文章，今天打算在那篇文章的基础上再来说一说0.999…等于1的证明。
一共给出四个证明，前两个是利用小学的知识，后两个利用一些数学的常用证明方法。第1个：
按照我们学过的知识，应该不难发现乘、除法具有这样的特征：a除以b再乘以b，其结果依旧等于a，即：a÷b×b=a。同样的：a乘以b再除以b，其结果依旧等于a，即：a×b÷b=a。由此，6÷3×3=6×3÷3，4÷5×5=4×5÷5。下面，我们按照同级运算的计算法则从左至右来分别计算1÷3×3=1×3÷3的等号的左右两边的式子吧。再按照从左至右的顺序计算1×3÷3，我们看计算结果：因为1÷3×3=1×3÷3，而按照从左往右的顺序进行计算发现：等号左边1÷3×3的结果是0.999…，右边1×3÷3的计算结果是1。第2个：
令x=0.666...，那么10x=6.666...
令x=0.999...，那么10x=9.999...第3个：
要证明0.999…=1，我们先假设0.999…不等于1，如果假设造成矛盾，那么假设不成立，则可以得出0.999…=1，证明如下：假设0.999…不等1，那么根据有理数的稠密性（即任意两个不相等的有理数之间至少存在着一个数），就可以在0.999…和1之间找到至少一个数a，使得a比0.999…和1中的一个数小而比另一个数大。但是无论怎么找，也无法找到这样的一个数a。这就产生了矛盾，所以，0.999…=1。第4个：
0.999…=0.9+0.09+0.009+0.0009+…… ①
0.999…=(9/10)+(9/10^2)+(9/10^3)+(9/10^4)+…… ②可以发现“=”的右边是一个等比数级，第一项是9/10，公比是1/10，根据等比数级的求和公式：我们可以得出前n项的右边的结果，这里n不论有多大：
当n→∞时，正好是②中右边的和，这时![]()
是0，那么右边的部分的和是：n→∞时，![]()
（本篇中的像0.999…这样的小数表示的是从十分位开始，循环节为9的循环小数。）
