顺德小数声音 | 《深耕教材，助力学生模型意识的培养》——佛山市顺德区大良凤翔小学杨海波老师分享

教育 2024-09-28 09:09 广东

个人简介

杨海波，佛山市郭利锋名师工作室核心成员，凤翔小学数学科组长。被评为“顺德区学科优秀教师”、“大良街道卓越教师”、“大良街道教学能手”。撰写的论文多次获得国家级、省级一等奖，曾获全国名师工作室教学设计与展示活动二等奖，大良街道教学能手比赛说课和课堂比赛一等奖。

主题讲座：《深耕教材，助力学生模型意识的培养》

——佛山市顺德区大良凤翔小学杨海波老师

尊敬的赵老师，各位领导和老师们，大家下午好，很荣幸今天和大家一起分享和交流有关“模型意识”的内容。在讲座之前，大家可以带着两个问题去思考，第一是什么是模型意识？第二是在教学中你是如何培养学生的模型意识的？接下来我主要从模型意识的内涵，类型和培养策略这3个方面进行我的讲座。

一、模型意识的内涵及意义

2022版数学课程标准提出核心素养具有整体性、一致性和阶段性，在不同阶段有不同的表现，因此2022年版数学课程标准将2011版中的“模型思想”细化成“模型意识”与“模型观念”，“模型意识”与“模型观念”在义务教育阶段，均是数学语言的主要表现之一。

根据学生的认知水平以及学习内容，使得中小学不同年龄段所侧重的方向各不相同。其中小学阶段侧重对数学模型的经验感悟，初中阶段侧重对概念的理解，而高中阶段侧重对理论的运用，如数学模型。小学主要形成模型意识，初中主要形成模型观念，高中阶段主要学会数学建模。数学建模和模型观念都是建立在“模型意识”的基础之上，从感性认识到理性认识，再到运用和创新。总之模型意识的形成，不像具体知识点那样进行一个单独的数学内容来进行教学，而是融入到具体的教学过程中，让学生在经历问题，学习过程中逐渐领悟的，是一个比较复杂的过程，需要老师们长时间的重视和不断渗透，让学生经历一个从模糊到清晰的领悟过程。

什么是模型意识呢？2022版的数学课程标准把模型意识定义为：对数学模型普适性的初步感悟。表现是：知道数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径；能够认识到现实生活中大量的问题都与数学有关，有意识地用数学的概念与方法予以解释。作用是：模型意识有助于开展跨学科主题学习，增强对数学的应用意识。它的地位是形成模型观念的经验基础。当学生认识到现实世界中大量的问题都与数学有关，有意识地用数学的概念与方法予以解释，在这个过程逐步建立模型；当学生学会应用模型，解决问题，就增强了对数学的应用意识。

概括而言，模型意识的建构可以有以下的过程，需要经历识别现实情境，进行数学化后建构关系，经过一般化后用以解决同类问题。从识别现实情境到建构关系，主要通过表征解释；构建关系之后，通过反思应用，从而解决实际问题。基于以上分析，可以得到模型意识的表现性目标层次。

第一层次是识别，能从现实情境中识别信息，提出问题。第二层次是表征，概括信息进行关联和分解，用操作、画图和语言描述等方式表征问题情境和信息。第三层次是抽象，能关联运算意义，用算式进行表达，抽象出模型并进行解释。第四层次是概况，能对建构的模型进行交流、表达、验证和反思，并能运用到一类问题中。

以相遇问题这一课时为例，第一层次是识别，根据淘气和笑笑的对话提出问题。第二层次是表征，比如用手势演示两人相遇的过程，画图和语言描述等方式表征问题情境和信息。第三层次是抽象，用算式进行表达，抽象出相遇问题模型并进行解释。第四层次就是概括，能把相遇问题运用到一类问题之中。

二、模型的常见类型

数学模型的常见类型有哪些呢？它主要分为以下六种类型，分别是运算模型，关系模型，公式模型，统计模型，概率模型，结构模型。

运算模型主要有：运算概念（加减乘除），运算法则和运算定律。

关系模型主要有：路程、速度、时间关系；数量、单价、总价关系；正反比例关系，百分数的计算以及比例尺。此外，2022版课标新增了总量=分量+分量这个加法模型。

公式模型主要有：平面图形和立体图形的周长、面积和体积公式。

统计模型主要有：各种统计图表，以及平均数。

概率模型主要是：可能性的大小这个内容。

结构模型主要有：搭配问题、植树问题、烙饼问题、鸡兔同笼问题。

当然，上述模型的分类方法也不一定准确，但有一点是肯定的，那就是模型思想的渗透要贯穿数学教学的始终。

三、模型意识的培养策略

小学生以直观形象思维为主，渐近抽象逻辑思维的阶段，而数学概念、定理等抽象而复杂，对多数小学生来说学习难度比较大。数学模型意识的培养能帮助学生对数学概念的理解，提高教与学有效性，有助于学生顺利从形象思维过渡到抽象逻辑思维。那么，在核心素养背景下，小学数学教学应如何培养学生的模型意识呢？

我们先来分析不同版本构建乘法分配律模型的做法，人教版，苏教版和北师大版都注重创设生活情境，从生活情境引入。而人教版和苏教版比较直接，主要从算式进行研究，通过不同的算式，逐步抽象出乘法分配律的模型。而北师大版的方式比较丰富，利用格子图、点子图或面积图形对乘法分配律进行多元表征，将图抽象成算式，最终用字母表示，从而建构乘法分配律的模型，其实我是很赞同北师大版的做法的。所以我们在乘法分配律的教学中，采用多元表征，通过多层次，多活动，多角度多方面去感知模型，有利于学生构建乘法分配律的数学模型。

怎样进行模型意识的培养呢，我觉得可以通过以下5个方面进行。

（一）根据思维进阶，逐步培养模型意识

在第一学段的加减乘除法的学习过程，教材都是借助直观模型帮助学生解决实际问题，逐步渗透模型思想。比如低年级教师在教学“3+2=5”这一环节时，可先通过具体情境图让学生说图意，理解有3只小熊猫在吃竹子，2只熊猫在玩皮球，然后再根据图意提出数学问题，引导学生列式解答;再让学生用圆片代替熊猫，将这一过程摆一摆或者用图去表示。无论是哪种表示方式，它们都可以用同一个算式 (3+2=5) 来表示。教师还可再让学生说一说这里的3和2表示什么？5又表示什么? 最后让学生说一说在生活中3+2=5还可以表示什么呢? 学生可能会说“有3瓶牛奶，又拿来2 瓶，一共有5瓶”，也可能会说“树上原有3只小鸟，又飞来2 只，一共有5只”等等，学生在感受熊猫的分与合的过程，逐步理解加法运算的概念，抽象出加法运算的模型（部分量+部分量=总量）。减法也是一样的道理，只是部分量+部分量=总量变成了总量-部分量=部分量，我们可以通过加法模型感悟减法模型。

在这个过程中，我们更重要的是鼓励学生多种表征，用不同的图形，用不同的活动方式来认识和理解加法的关系，才能帮助学生初步感知加法模型。然后我看了今年一年级的新教材的这一课时，发现新教材比旧教材，最大的不同的是把新课部分的“摆一摆，算一算”变成了“画一画，算一算”，这正好是建构模型中的多元表征这一过程，“摆一摆，算一算”是更具体，半抽象的过程，而“画一画，算一算”是更加抽象的过程，在一定程度上加大了学生学习的难度，但是更有利于学生建构加法模型。

在第二学段：通过一些具体问题，引导学生通过观察分析，抽象出一般的模式表达。如用字母表示有关的运算律和运算性质，总结出路程、速度、时间和单价、数量、总价等关系式。例如行程问题的教学中，教师教学时通过创设学生熟悉的情境，引导学生采用探究学习的方式，在提出问题，分析问题和解决问题的基础上，总结出行程问题的解答方法，从而进一步体会速度、时间、路程之间的关系。

到了第三学段，学生的思维到了一定的层次：就可以对各类模型的综合运用和总结，加深模型意识的经验感悟，培养模型意识。比如相遇问题这个模型，其实就是乘法和加法综合模型的应用。

（二）创设真实情境，多元表征感受模型

我们发现：在乘法口诀的学习中，是通过数筷子的生活情境，学习两位数除以一位数的过程中，通过分橘子的生活情境，再到学习圆的面积，也是通过生活中的喷水龙头浇灌的面积这个情境，让学生感受到数学来源于生活又服务于生活，激发学生学习的乐趣。当时我们工作室的成员李敦恒校长上的《相遇问题》这节课，是在课本原有情境中创设淘气在五一买礼物，给笑笑送礼物的过程，为了尽快见面所以采用同时出发的生活情境。

环节二：先让两位学生演示淘气和笑笑相遇的过程，再让每位同学用手势演示相遇过程，初步感知相遇问题模型。

环节三：画图表示淘气和笑笑相遇的过程，解释图中每一步的意思。根据等量关系，用方程解决问题。

环节四：概括并总结相遇问题的模型，并能运用到一类问题中。

在多元表征方面，李敦恒校长这节课做得比较好的就是在动作思维的过程中，李校长是让学生充分体验的，比如先让两位同学演示这个相遇过程，再让每一位学生用两只手演示这个相遇的过程，学生在演示的过程中，脑海中就会慢慢形成这个图，就会逐步抽象出这个关系模型，才能深刻理解淘气走的路程+笑笑走的路程=总路程。学生经历由动作思维到形象思维，再到抽象思维的过程中，逐步构建模型。

接着我继续以北师大版五年级下册的《相遇问题》这一课进行教学现状分析：

（1）学生不太愿意用方程求解。

（2）教师往往会忽略了模型的建构过程。

（3）教师更注重同一种模型的刷题。

教学策略：

（1）如何解决“学生不太愿意用方程求解”这个难题？怎样才能让学生感觉到“用方程解”的必要性。

处理方法：先不着急让学生用方程解答，可以让学生用自己的方法求解，当有学生用840÷（70+50）求解时，追问学生：“你能解决这个算式的意义吗?”,显然这是不好解释的。进一步让学生感受到用方程解的必要性。

（2）建模很重要，理解模型结构中每一个部分的意义更重要，如何帮助学进行有意义的建构，而不是套用模型，机械复制呢?

中下学生对本课时的相遇模型:S淘气+S笑笑=S总路程;V速度和×相遇时间=相遇路程，每一部分的意义以及它们之间的关系并不是很明白，如何突破?

处理方法：必须要让学生亲身经历模型建构的过程，理解什么是相遇问题模型；拉绳子让隐性的目标(本问题就是距离)变成看得见，让教学可视化。

我觉得赵老师当时说的拉绳子让隐性的目标可视化这个建议非常好，为什么呢？因为我在班上上这节课的时候，发现学生虽然演示了这个相遇过程，但是好一部分学生就是画不出这个图，因为这个过程比较抽象，有一定的难度，但是采用教学可视化，就能帮助学生理解并抽象出这个相遇问题模型。

（三）从具体到一般，逐步抽象数学模型

在我们五年级的教学中，这一道题学生是比较难理解的，包括老师教学，也会觉得有一定的困难。其实解决第一个问题还好，引导学生发现，这是求这辆车的速度，通过路程÷时间＝速度得到。而第二个问题就比较难理解，可能老师们教学的时候往往会说，这是求行驶1千米要多少小时，所以我们要用小时除以。其实学生还是很难理解的。我们可不可以引导学生发现，速度不变时，当这辆车的路程有倍数关系时候，时间也会有倍数关系。当路程从变成1时，除了，那么时间也要除以，从而算得答案。当学生还是不太理解时候，可以尝试从整数出发，因为把数据变成整数，学生更容易理解它的意思，再把整数变成小数，再变成分数，方法其实都是一样的。通过有梯度的过渡，让学生经历由一般到具体的过程，逐步抽象数学模型。

（四）灵活应用模型，解决一类相关问题

第四是灵活应用模型，解决一类相关问题。学生在学习相遇问题后，可以解决一类问题，比如：工程问题、单价、总价和数量问题；或者同时完成一份文件，都可以用相遇问题这个模型解决问题，感受数学模型的作用。又比如学习了鸡兔同笼之后，我们就通过列表尝试，假设和列方程的方法解决以下问题。

（五）引导知识迁移，“旧模”变“新模”

第五是我们要利用知识迁移，通过旧模建立新模。我们在学习整数加减法、小数加减法，再到分数加减法的过程中，要沟通三者之间的联系，理解加减法的本质是计数单位的累加或者递减，帮助学生建立运算模型。

在学习这三种不同数的运算模型中，都是让学生经历生活情境，识别信息的过程，再到多元表征，抽象和概括的过程。

在学习体积单位的换算时，我们就可以通过前面学习面积单位的换算这个过程去进行，利用原有知识和方法，通过动手操作：摆放小正方体或者画图，再通过计算，初步感知模型。这也体现结构化教学，帮助学生用旧模构建新模，通过旧模理解新模。

通过以上的分析，我得到模型意识培养的具体步骤，包括教学准备阶段和教学实施阶段。

总之，数学是一种模型科学，数学教学同样是模型建构的教学。教师在教学中要有意识地培养学生的模型意识，模型意识是教师培养小学生数学能力的重要助手，让小学生亲身体验到借助模型思想解决现实问题的过程，可以有效培养小学生的合作意识、探索意识、创新意识，实现小学生的全面发展，提升数学素养，为社会培养出更多人才。

各位老师，以上就是我对模型意识的一个粗略认识，有很多讲的不好和讲的不对的地方，也请各位专家和老师们多多批评指正，谢谢大家。

文稿：大良凤翔小学杨海波

编辑：均安天连小学欧阳嘉俊

审核：顺德区教育发展中心赵阳云

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