执教者：江苏省优秀教师 左小平
整理人：莱州经济开发区学校 李莹
评价语 提问语 过渡语
环节一：师生对话，层次清晰，复习渐进（数、计算、数的计算）
师：好，请坐。同学们，时间过得真快。一转眼我们已经六年级了，而且进入了总复习阶段。看，你想到什么数？直接说。整数、分数、小数、百分数。我听到了，有整数、有小数、分数记得真清楚。(生答)
师：再看想到哪些运算，直接说。有加法，减法，乘法，还有除法，想到了四种运算。我们的数和我们的运算密不可分，我们今天就来进行《数的运算总复习》。
师：你想到哪些数的运算？比如整数减法。还有小数减法，小数乘法，小数除法，还有分数的加减乘除。
环节二：复习数的运算方法（注意事项）
师：想到了这么多，还记得怎么算的吗？老师也挑选了几道题，一起来看看。
回顾要求：四人小组每人选一题互相说说计算方法。明白了吗？明白了开始。
（学生小组讨论）对，每人选择一道题，上面的一道题。比如说你们选哪道题，哪个同学先选？好，那你选一道题说说计算方法。
师：好了吗？来好了吗？哪个小组来跟我们分享一下？好，来最后一小组。
生1：我来发言。16+16就是末尾对齐，然后是个位对个位，十位对十位，满十进一。
师小结：就是数位对齐，从个位算起。是这方法吧？继续。
生2：我的想法是这样的，第二题可以把它的计数单位统一先通分再加减。以前我们就是这么。
生3：第三题，我的想法是这样的，我先把百分位对百分位，十分位对十分位。
师：那你的意思小数乘法，我们摆竖式的时候是怎么摆的？
生3：摆数的时候是直接末尾对齐，不要看具体位数，其实就是把它当做整数乘法来算。最后，在积的末尾点上小数点。
追问：是这个意思吗？好，继续。
生4：我来回答第四题，这一题是÷。因为我因为我们之前学过一个数除以一个数就等于这个数乘上倒数，而÷就等于×。之后我们在进行分数乘除法的时候，我们应该先跟它约分，约分到最简形式之后，我们再把它分母乘分母、分子乘分子。算完之后就再次验证这个数是否为最简分数。
师：方法说的很清楚，而且给我们提了几点注意的地方是吗？掌声送给这个小组的同学。谢谢你们，每个方法都回忆的很清楚。
师：小学阶段，我们学习了这么多，在总复习的时候，我们就要像这样一一回顾，查漏补缺。
环节三：复习算法背后算理的联系
师：其实各种各样的运算都有自己的算法。而不同算法之间是有联系的。不同运算之间、相同运算之间有着怎样的联系呢？我们今天就来研究研究，一起来看一下研究要求。
探究要求：选一组算式，可以观察，也可以计算。想一想他们之间有怎样的联系。要求看清楚了吗？好，拿出你们的研究单，开始研究。
提醒：已经算好，想好的同学可以在小组内互相交流，你们的想法。
（学生小组讨论）你研究的是这一列吗？这类同学之间有联系吗？待会把你的想法互相说出来，自己怎么想就可以怎么解释？
层次一：讨论同级运算间的关系（逆运算）
师：好了吗？不同的人啊，有不一样的想法，老师选举了几个代表作品，我们一起来看看。有联系吗？来介绍一下。男孩。
生1：我的想法是这样的。16+16=32，32-16又等于16，我认为减法就相当于是把加法反过来算一遍。（继续）乘法和除法也是这样，16×2=32，32÷2=16。那么，除法也就相当于是把乘法反过来算了一遍。
师：你们理解这个反过来的意思吗？那像这样由加法能想到减法，我们就说减法是加法的逆运算。说的真好，那除法是乘法的逆运算。谢谢你，请坐。那再看看。还有联系吗？来，女孩请你。
层次二：讨论不同级运算之间的关系（相同数连加/连减）
生2：我认为这个乘法还可以看成就是，几个相同的数相加。就比如说16+16就是2个16相加，也就可以看成2×16。
师：是的，乘法其实就是求相同加数和的一种？什么？是呀，简便方法。那这样看减法和除法之间有联系吗？那它其实就是同数连减的一种计算方法是这样吗？
师：那小数加减乘除、分数中也有这样的联系吗？有吗？同学们通过我们刚才的交流啊，我们发现这四种运算之间的联系。现在谁能完整的说一说他们之间是怎样的联系？来男孩请你。
生3总结：加法和减法之间的联系是：减法是加法的逆运算；乘法和除法之间的联系是：除法是乘法的逆运算。乘法是加法的简便运算。其实就是他们是同数连加。减法和除法是同数连减。
评价：理得真清楚。掌声送给男孩，谢谢你。
师：这四种运算中哪种是最基础的运算？来请人说说看，女孩你来。
生4：这几种运算当中，加法和减法是最基础的。（追问：理由？）因为乘法是加法的简便运算，而且除法是减法的简便运算。
师：有人有补充？来旁边男孩。
生5：我觉得乘法也包括了加法，然后除法也包括了减法。（追问：所以，如果是最基础的，应该是哪一种？）加法和减法。
小结：而由加法也能想到减法，所以最基础的，如果选一种的话，那就应该是加法。有理有据，正是因为这样，我们又把加减称作为一级运算。乘除称作为二级运算。同学们，刚才我们通过对整数加减乘除的研究类推到小数、分数，发现了它们之间千丝万缕的联系。
层次三：讨论加减法运算算理背后的联系
师：有人横向研究，就有人纵向观察。接着看，有联系吗？来，八号同学是哪位？说说看。
生6：我是这样想的。我觉得可以数位对齐，然后再运算，是比较快的。
师：是数位对齐再计算，是吗？为什么要数位对齐呢？
生6：因为如果你个位数加十位数的话，这样就算错了。
师： 对不对呀，数位对齐 。是保证相同数位上数的计数单位是一样的，是这个意思吗？女孩。那你觉得这个和它们一样吗？（分数）
生6：这个我觉得和他们不一样。
师：感觉不一样了是吗？其他同学呢？再看看。（画出通分的步骤）一样吗？
生6：一样的。
师：怎么又一样了呢？
生6：因为如果把他们通分之后，他它们的计数单位是一样的。你们同意吗？掌声送给女孩。
小结：你说的这个计数单位，其实在分数里面，它是分数单位，相当于小数和整数中的计数单位。（板贴：计数单位）
（引导梳理板书）那老师现在能把它框进去了吗？理由是？分数通分之后都是相同的计数单位才能相加。那原来这里是一二三，其实就是几种？来女孩，你过来。
小结：这一擦，让我们明白了它们计算背后的道理其实是一样的。（板贴：算理）所以他们有个共同的名字叫加法运算。掌声请坐。加法中的线被我们擦了。再看看，还有哪些线我们也可以擦掉？来女孩请你。对，来到前面来。是你们心中所想吗？
师：那你跟大家说说什么道理？
生7：我认为，就是加法和减法，它是一样的，就是运用相同的计数单位，然后进行相减。
师：听明白的举手。你听明白什么了，来，女孩拿话筒。举个例子说说看。比如？
生7：比如，4.65-3.45和32-16都是相同数位对齐，然后再相减。
师：是这个意思吗？计数单位相同就能相减。例子举得好，道理说得清。掌声送给两位同学。女孩请坐。
师：那加法和减法中的这条线我可以擦了吗？那老师把它擦了啊（擦去加减法中间的线）。那其实无论是加法还是减法，他们都是相同计数单位的个数相加减。（出示板贴：相同计数单位的个数相加减）
层次四：讨论乘除法运算算理背后的联系。
师：是的，还有人研究了乘法和除法，咱们接着看。有联系吗？什么联系？来那位男孩。
生8：它们都是用两个数相乘。
师：那也就是小数乘法和整数乘法是一样的，什么是一样的？
师：他们的计算方法是一样的。以前我们就是这么学的吧。那今天从计数单位的角度来看，它们之间还有联系吗？（将计数单位从左移到中间）感觉有人有想法，也有些同学有点困惑。
层次四：讨论乘除法运算算理背后的联系
引导：没关系，不着急，如果有困难的，老师给你们每个人在抽屉里都提供了一份锦囊，你可以打开锦囊，再研究研究。乘法运算之间从计数单位的角度有怎样的联系？除法呢？开始。把锦囊拿出来。
（学生小组讨论）算好的同学同样可以开始在你小组内说说你的想法。
师：好了吗？我们就有同学啊，借助我们的锦囊研究出了他们之间的联系。来，这位同学请你来介绍介绍。那个男孩是你的作品吗？
生9：有一个规律，首先我是从第一道算式开始开始看的。可以写成2个，等于4个，最后答案等于8个。这里我们先看这个，是用2×4也就等于其中的8，×也就等于，再用8×，就等于最后答案。继续。然后第二道算式16×2=32，0.1×0.1=0.01，最后答案也就等于32×0.01=0.32。然后16×2=32，1×1=1，32×1=32。
追问：你问问大家听懂了吗？你们听懂了吗？每个例子都说的很清楚，他其实就是想表达他们之间什么联系？男孩。用话筒。
生10：他就想表达他们之间乘法也和计数单位有关系。
追问：什么关系？
生10：计数单位相乘等于新的计数单位，个数相乘等于新的个数。
追问：是这个意思吗？你们听明白了吗？男孩讲什么？男孩刚才表达是什么？来，你说。
生11：他刚刚表达的是一个计数单位，加上另一个计数单位就有可能就可以延伸出一个新的计数单位，所有的数的运算都跟计数单位有着不可分割的关系，由他们两个的举例，我也联想到了除法。
师：我觉得除法不着急，慢慢来说。你刚才说的乘法当中，有人有意见了，作者本人有意见了。你要让他跟你对话吗？需要。
生9：首先他说的这个计数单位加计数单位是有问题的，因为这个是乘法计算。个数和个数，计数单位和计数单位之间都是乘的，不是加的。
生11：首先我们来看看这个图，这个图后面延伸都是由一排一排的延伸，就看到延伸之后从都是从上往下加得到最后的答案，最后再进行。
师：不着急，那男孩刚才说的这是计数单位和计数单位相乘，你同意吗？这个是同意的，所以能不能说计数单位和计数单位相加？能不能？而它的个数和个数也是相乘，是这个意思吗？现在明白了吗？明白了，谢谢老师掌声送给三位同学。来请坐。
师：刚才你提到了图，是不是觉得这个乘法算式比较熟悉？熟悉吗？那老师告诉你，这道乘法算式啊，其实就是你们六上的一道例题。看一看在这幅图中有你们刚才说的计数单位和计数单位相乘得到新的计数单位吗？
那新的计数单位在哪儿呢？来男孩请你上来给我们指一指新的计数单位在哪？新的个数又在哪？新的计数单位？是多少？那新的计数单位就是多少？。在这儿可不可以？在这可不可以？
追问：他一共有几个这样的计数单位？到底多少个？8个。比划一下在哪？对吗？掌声送给男孩。
师：这一指让我们知道了，我们以前学习的图也能支撑我们今天的理解。请回。感兴趣的同学，也可以借助这样的方格图再研究研究整数乘法和小数乘法。通过刚才的研究啊，老师发现大家都有一双善于发现的眼睛，找到了乘法运算之间的联系。其实就是计数单位和计数单位相乘，计数单位的个数和个数相乘。那这些线可以擦了吗？
师：那刚才这位男孩，他还想讲除法。那你觉得除法运算它们之间的联系是？男孩。
生11：我觉得因为乘法运算之间，通过刚刚的研究我们发现是计数单位和计数单位相乘，计数单位的个数和个数相乘。在除法里面，就是因此我认为在在除法里面应该是个数与个数相除，然后计数单位与计数单位相除。
小结：有道理吗？请坐，那你们觉得还要再研究吗？你们觉得要研究吗？有人觉得要，有人觉得。不要回到这，我们看看。刚才我们知道了减法是加法的逆运算，所以加法之中的联系我们可以迁移到减法。除法是乘法的逆运算，那它们之间的联系应该也是类似的。是这个意思吗？那我们以÷为例。按照你们刚才的说法，从计数单位的角度怎么算？来男孩，就请你。
生11：从计数单位的角度，÷，我们先要把他们的计数单位变成一样的，之后也我们就是先通分，通分之后就会变成÷，那么变之后，我们都知道一个数除以另一个数也就是乘它的倒数，那么÷=×，我们再进行约分15和15，约掉12和8，12和8都有一个相同的因数，就是4。同时，除以4最后的答案就是。
师：方法可不可以，他想到的是把它通分除法运算需要通分吗？如果按照刚才那个男孩的想法，从计数单位的角度，它其实可以怎么算？来请你。那就是继续。
师：那就可以用，你们刚才说的计数单位的个数除以个数，计数单位除以计数单位是这个意思吗？是的，谢谢你。请坐，那刚才这个男孩其实想最后想用乘它的倒数。是这样算的吗？那由它能推导出它吗？
小结：看来从今天的研究和我们以前的研究之间是有联系的。分数除法，我们把它转化成乘它的倒数，那么小数除法，整数除法也可以乘它的倒数吗？来看看，可以吗？
师：验证一下多少？多少？多少？16，16，16，所以可不可以？可以。看来，无论是从计数单位的角度，还是将除法转化成乘法，它们之间的联系都是相通的。那除法中的这些线，可以擦了吗？可以。
小结：所以，无论是乘法还是除法，他们之间的联系都是计数单位和计数单位相乘、除，计数单位的个数和个数相乘、除。
总结：同学们，我们刚才从计数单位的角度找到了它们之间的联系，我们发现，各种各样的算法背后都是有算理支撑的，而在这其中，运算律发挥了重要的作用。
环节四：用联系的眼光回顾之前的学习，形成知识结构化
师：下面我们就带着联系的眼光来回看我们以往的学习，看看有没有什么新的收获。熟悉吗？多少？怎么算的？来男孩请你。
生12：我是用加法结合律来算的。用（3+4）a算出来的7a。
师：我们以前就是这么算的，那今天从计数单位的角度还可以怎样理解？来男孩请你。
生13：觉得把3a计数单位看成1a（师：就看作a，是这个意思吗？好。）然后3a就相当于3个a，4a相当于4个a，然后3个a加上4个a就就等于7个a。
师：是不是啊？是。我们从计数单位的角度又赋予了他新的理解。
师：再看多少？多少？
师：好的，我也给你一幅图。你们说的a的平方在哪？手比划一下。那3a又在哪呢？那这就是12a的平方。
追问：如果在后面再乘2a呢？答案又是多少？24a³。图又是怎样的？和你想的一样吗？
环节五：回顾总结提升整节课的内容
师：同学们，我们今天进行了数的运算总复习，回顾一下我们是怎么复习的？一开始我们回顾了各种各样的算法，然后借助具体的算式探究了他们之间的关系，发现从计数单位的角度来看，它们都是在计算计数单位的个数。学到这，不妨大胆的想一想，我们进入中学，还会遇到其他形式的数吗？有哪些猜猜看？我听到还有人说函数，还有其他的吗？幂是吗？那还有其他的运算吗？同学们知道真多，那到时候他们之间又有着怎样的联系呢？等待着同学们继续探索和发现。好这节课，我们就上到这下课。
