执教：青岛西海岸新区教育和体育科学研究院 郑玲玲
整理者：莱州市土山镇中心小学 孙丽娟
提问语 过渡语 评价语
一、谈话导入
师：同学们,上一节课我们在中国传统手工艺风筝制作中学习了分数乘整数，那这一节课我们继续走进中国的传统手工艺学习分数乘分数。
师：剪纸是我们中华优秀的传统民间艺术之一。唉，你看，用一把剪刀一张纸就可以刻画出丰富的艺术形象。让我们一起来瞧，这是12生肖的剪纸。感觉怎么样？很好看，栩栩如生。是吗？那你们知道吗？比如说剪这样的一只大公鸡要用多少张剪纸呢？注意看谁来说一说。好，你来剪。
生：一只大公鸡，用去半张卡纸的1/2.
师：好，你请坐。那根据这一个数学信息，你能提出什么数学问题？
生：剪一只大公鸡，用去整张纸的几分之几？
师：用去整张纸的几分之几，或者是说用去多少张卡纸呀？那该怎么来列式呢？
生：1/2×1/4
师：同意吗？
生：同意。
师：为什么用乘法计算呀？那个男同学。
生：嗯，我觉得是求1/2的1/4 是多少。
师：剪一只大公鸡用去多少张卡纸？其实就是求1/2的1/4 是多少，所以用乘法计算。
二、探究新知
师：那1/2的1/4 到底是多少呢？对我们来说这是一个新的问题。同学们想想看，我们在以前研究有关分数的知识的时候，经常会用到什么方法呢？你来说。
生：可以借助数形结合的方法。
师：数形结合，他的意思是画图。画图可是个好办法，是不是孩子们？
师：如果我们用这个长方形来表示这一张卡纸，那你能画出1/2的1/4 是多少吗？想一想要先画什么？在画什么？不少同学已经想好了，想好的同学在你的探究单一上画一画，算一算，开始。
师：好，你来。上来说一说你是怎么分的？
生：我们就是把这张卡纸沿它中间的红线把它横着分成1/2，就平均分成两份取其中的一份，就是这张卡纸的1/2，他说是1/2的1/4，我们就把这其中的一份再平均分成4份，其中的一份就是1/2的1/4。
生：大家还有什么疑问吗？
生：没有
师：诶，有一位同学有。
生：老师，我觉得这是这样的，因为这样还不能明显的看出它是指1/8，可以在下面那一部分没有平分的地方画一些虚线来表示是8份。
师：谁明白他的意思了？他是什么意思呀？来，你来说。
生 老师，我觉得他的意思是应该在下边画一些辅助线，让他人更好的理解这是1/8。
师 你请坐，你明白他的意思吗？我们来看求1/2的1/4是多少。先把这张卡纸平均分成两份，然后取其中的几份？咱们为了看出取了这一份，咱们可以把这一份怎么样？我们可以这样来涂，孩子们可以吗？（可以）用这种斜线来涂这其中的一份，是吗？然后再把这其中的一份它又平均分成了4份，再用这种斜线表示取出其中的几份，是不这样我们就很明显地看出我们是分了几次？
生 两次。
师 第一次取了2份中的一份。第二次又取了 4 份中的一份。
师：取了几次？
生：两次？
师：对，你看，一次用斜线，另一次用反斜线来表示取的，是不是更能够清楚我们是怎么分的？怎么取的？那一共平均分成了多少份啊？刚才同学们提出了很好的建议，我可以把它延长，这样就很明显的看出我一共分了8份，非常好。你请回。
师：我们再一起来看一看大家刚才的研究过程。我们是先把这张卡纸平均分成两份，然后取其中的一份。这一份就表示1/2。好，然后再把这1/2张平均分成 4 份。对，再平均分成 4 份，然后再取其中的一份。那这涂色部分的这一个就表示 ?
生：1/2的1/4
师：这涂色部分就是1/2的1/4，那就相当于把这张卡纸平均分成了8份，一份是1/8
师：那这个8刚才大家说是怎么来的？分了几次分出来了？
生:2次分出来的。
师:这其中的一份就是八分之一，我们已经学习了分数的意义，那这表示一份的数叫什么？
生:分数单位。
师：认真观察你发现了什么？男孩
生:我认为应该是计数单位乘一个计数单位等于一个不同的计数单位。
师:他说的计数单位就是什么？
生:新的分数单位。
师:谁明白他说的意思？来，那位男同学你来说。
生:他的意思就是一个分数单位乘另一个分数单位可以获得一个新的分数单位。
师:同学们太会观察了，数学的感觉真好。
师：是的，你看，我们把分数单位和分数单位相乘就得到了一个？
生：新的分数单位
师：好。唉，那说到这里，你是不是有一种似曾相识的感觉呀？想想整数乘法、小数乘法，发现了什么？来，女孩，
生：我们都是用计数单位相乘然后得出了新的计数单位。
师：同意吗？
师：善于用联系的眼光看问题。是的，都是一个计数单位乘另一个计数单位得到了新的计数单位。真好！
师：那有了这样的研究经验，请同学们大胆的猜一猜，4/5乘2/3想一下，它们相乘又会得到哪个新的计数单位呢？会有几个这样新的计数单位啊？把你的想法和你前后位的同学说一说。
师：你有想法了吗？来，谁来大胆的猜一猜，会产生哪个新的分数单位？有几个？来，你来猜。
生：我觉得它的新的分数单位是1/15，会有8个这样的分数单位。
师：你是怎么想的？
生：因为我们可以根据刚才的分数单位乘分数单位，会得到一个新的分数单位，就先不看那个4和2，就用1/5 乘1/3 就等于1/15，然后 2×4 = 8，这样就变成了8/15。
师：我们来看可不可以把他的推理这样来表示，就是说我们4/5看成是1/5×4，把2/3 看成是1/3×2。然后乘起来，接着呢？
生：(1/5×1/3)×（4×2）
师：你们让这两个？
生：分数单位相乘。
师：是这样子的吗？然后又让这什么呀？数量或者是分数单位的个数相乘。好，那这时候分数单位和分数单位相乘得到了新的？
生:分数单位
师:是多少？那有几个呀？再乘8，最后可以算出等于8/15。
师:同学们，这仅仅是我们刚才根据分数单位来进行的推理，那是不是正确的呢？你觉得还需要什么？（画图验证。）好，那同学们来看，我们就把这个正方形看作单位1，想一想我们要计算 4/5 的2/3是多少，应该先画什么？再画什么呢？想好之后在探究单 2 上把它表示出来，开始。
师:有的同学很清晰地表示出了分的过程和取过程。
师:好，同学们都已经完成了吗？这是哪位同学的？请你上来讲一讲。
生:我是先把这个正方形平均分成了5份，取了其中的4份就是表示4/5，那4/5×2/3 就是把4/5 再平均分成 3 份，取其中的两份。最后我们得出的结果就是一共取了8份，结果就是8/15。同学们还有什么疑问或补充吗？
师：讲得怎么样？评价一下。来，你来评价。
生：嗯，我觉得他讲得很好，他画的这个很清晰。然后他讲的时候他也很清晰，他这个画的他把就是求出来这个部分又加深了一下。
师：你看他用斜线和反斜线表示出了 分的过程和取的过程，而且讲得逻辑清晰、有条有理。把掌声送给他。
师：嗯，我们再一起来看一下刚才我们的研究过程。注意看，我们是先把单位1平均分成？
生：5份
师：然后取了？
生：其中的 4 份
师：接着?
生:再平均分成3份
师:那也就相当于把这个单位1平均分成了多少份？
生:15份。
师:怎么用算式来表示这15份？来，那位女同学你来说。
生:如果用 4/5 和2/3 的分母来乘，就是 3×5 = 15。
师:3×5 或者是 5×3 有分母相乘，是吗？接下来我们再来取平均成3份中的两份，也就相当于取了这个总份数的多少份啊？（8份）这8份怎么来表示啊？
生：4×2
师 ：好，因此你看我们在计算4/5×2/3的时候，我们就可以这样来计算，那就等于 8/15。好，再来看结合刚才分的过程取的过程，想一想这里的 15 表示的是什么呢？你来说。
生：15 表示的是平均分的份数，
师：同意吗？
师：那这里的8又表示了什么呀？
生：取的份数
师：那同学们再接着看这个平均分的份数，如果从算式和我们分的过程来看，可以怎么算出来呀？
生：分母和分母相乘
师 ：那取的分数呢？
生：分子和分子相乘。
师：好，那你看通过刚才分了再分取了再取的过程，我们就相当于把单位1平均分成了15 份、 取了其中的8份。然后用分母相乘、分子相乘就算出了最终的结果。
师：那对比一下刚才我们验证的过程和我们用分数单位推理的过程，想一想有什么共同的地方吗？或者他们之间有什么联系呀？你的想法在小组内说一说？
师：好了，孩子们，谁来说一说你的发现？来，这位男同学，你上来。
生：就是它这个分母相乘实际上就是分数单位的相乘，也就是平均分的份数，它相乘之后就是积的这个分母。分子相乘实际上就是分数单位的个数的相乘。请问还有什么疑问或补充吗？
师：同学们都发现了吗？发现了。好，您请回。同学们都有火眼金睛，确实是这样，大家看，分母相乘得到平均分的份数，这就相当于（分数单位相乘 ）。那分子相乘得到取的份数也就相当于分数单位的个数相乘，然后再把它乘起来。你看通过验证我们的推理正确吗？
师：同学们真是太会推理了，而且非常有数学的感觉。把掌声送给自己。师：好了，那我们来看，现在我们有两种方法来计算，4/5×2/3。先看这两种方法，你认为从计算的角度来说，哪一种更简便？
师:哪一种？
生:第一种。
师:这一种是吗？好，那同学们说着，我来把这一种写一写，也就是。(4×2)/(5×3)也就等于8/15。
师：分母怎么样？
生：分母相乘。
师：对，分子相乘把它的积作分子，实际上分母相乘背后的道理就是什么呀？
生：分数单位相乘。
师：这样我们其中的一份也就是产生了新的分数单位。那分子相乘也就相当于分数单位的个数相乘，这时候就得到了新的分数单位的个数。
师：通过这一个乘法算式，我们知道了可以用分母相乘、分子相乘的方法来计算，那是不是所有的分数都可以这样来计算呢？还得需要怎么样？
生:验证一下
师:好，那我们用就这种方法来验证一下，看3/5×3/4，你说如果用分母相乘、分子相乘等于多少？（9/20） 那是不是这样呀？是，咱来验证一下好不好？你说用什么方法来验证？
生：画图。
师：先画什么？
生：先画3/5。
师：先把这单位1平均分成5份，然后取中的3份，接着再把五分之三平均分成4份，然后再去其中的3份，那这里的阴影部分就表示的就是？
生：3/5×3/4是多少？
师 你看也就是多少？
生：9/20
师：你看，我们猜的对不对呀？再来验证一个（5/8×3/7），想一想如果按照这种方法得多少？
生：15/56
师：那是不是这样呀？是，好，是我们把单位1平均分成8份取其中的5份。好，然后 呢？
生：再它平均分成7份取其中的3份。
师 那这里就表示 5/8的3/7,这是多少啊？
生:15/56
师：跟同学们猜的一样不一样。好。这里的分母乘分母，那就是表示？
生：分数单位相乘得到了新的分数单位。
师 :那分子相乘呢？
生：分数单位个数相乘得到了新的分数单位个数。
师：把背后的道理又给找出来了，同学们真是太厉害了。
师：你说这样的例子还有多少啊？
生：无数
师：那你能不能用一个算式就把它表示出来？你想到什么了？孩子，你刚才说。
生：用字母表示。
师：谁还想到了用字母表示。放下手。确实我们可以用字母来表示。唉，就按照同学们的想法，如果我们用b/a×d/c表示，你说接下来按照这种方法，我们怎样计算？
生：b/a×d/c=(b×d)/(a×c)。
师:当然这里的a和c都不能为0.好，你看用一个含有字母的式子，我们就能够表示出这种方法是不是孩子们？也就是？
生：分母相乘之分子相乘。
师：你说分数乘分数的这种方法我们适不适合用在分数乘整数上？
生：适合。
师：想想那就比如1/15×8，可不可以用分母相乘、分子相乘。？
师：看来男孩你有不同意见？
生：我觉得他这个是不适合的。举个例子说就是4/5×2，这样的话它就是分子4和那个分子和2相乘，但5还是不变的。
师：同学们来看到底适不适合？就以这位同学说的1/15×8，你说这个8可以看作是8/1 ，那谁来说？
生：把8看成8/1，然后1/15×8/1=(1×8)/(15×1)，也就是8/15。
师：可以吗？原来只要把这个整数看作分母是 1 分数就可以了，是不是呀？看这种方法对于分数乘整数同样适用。
师：好，那么其实对于同学们这节课探究的这种方法，早在古代就有研究，在我国的数学著作九章算术中就指出，母相成为法，子相乘为实。古代把分母叫作法，把分子叫作实，那这里的法指的就是分母ac。那这里的实呢？
生：bd
师：那谁来解释一下这句话是什么意思呀？考察你的语文功底。来，女孩你来说。
生：分母相乘作为法，也就是分母。分子相乘为实就是分子。
师：是不是这个意思啊？是啊，你请坐。那你说和我们的方法一样不一样。你看不管是这里的分子相乘得到的实，还是分母相乘得到的法，如果从计数单位的角度来说，你说分母相乘得到的法其实就表示什么？
生：新的计数单位
师：分数单位和分数单位相乘得到新的分数单位，这里的分子相乘得到的实就相当于？
生：新的分数单位的个数。
三、巩固练习
师：他们背后的道理是一样的。现在我们已经学会了怎么计算分数乘分数，而且还知道了它背后的一道理。那咱们来小试牛刀做道题好不好？好。是不是掌握了？好，开始。注意能约分的要约分。
师：它们有什么不同点？来，你来说。
生：嗯，第一个是在它的过程中就已经约分了，然后所以得出来的结果就是约分后的结果，然后比较简便。第二种是没有约分，是直接按正常的算法算出来的，然后比较繁琐。
师：好，你请坐，就第一种方法是先约后乘的，第二种方法是先乘后约，哪一种更简便？在算的时候可以先约分再乘。
师：好，看来同学们已经掌握了分数乘分数的计算方法，哎。上面我们一起研究了分数乘分数的计算方法和它背后的道理。在前面我们还学过了整数乘法和小数乘法，对比一下他们的计算方法和背后的道理，你发现了什么？来，孩子，你来说。
生：嗯，他们把计数单位和计数单位相乘，然后得到一个新的计数单位，然后再把计数单位的个数相乘，然后再把新的计数单位和他们总共的个数再相乘，就是得到最后的结果。
师：同学太会观察了，万变不离其宗。他们都做了两件事，都是把计数单位相乘得到了新的计数单位，然后计数单位个数相乘得到了新的计数单位的个数，然后再把它们乘起来，是不是？好。看来无论是整数乘法、小数乘法，还是今天我们学习的分数乘法他们计算的道理都是一致的。
四、课堂总结
师：孩子们那短短的一节课就要过去了。唉，这一节课你都收获了什么呀？谁来说？来，你来说。
生 ：我知道了分数单位乘分数单位得到了一个新的分数单位。
师：知道了他们计算的道理。好，你请坐。
生：我知道了分数乘分数怎么算？
师：嗯，也就是？
生：分母相乘和分子相乘。
师：好。你请坐。还有吗？来，男孩，你再来说。
生：我知道了这个分数乘分数的意义。
师：好，你请坐。来，你再来说。
生：乘法计算的道理是一致的，都是分数单位相乘，然后再乘分数单位个数的那个乘积。
师：他表达的意思是都是计数单位相乘得到新的计数单位，计数单位个数相乘得到新的计数单位个数。
师：同学们的收获满满。那带着这样的收获，课下请同学们完成《分数乘分数》的自主评价记录表。好，这一节课我们就上到这里。下课！
