利用解析法解决几何计算或证明问题

文摘 2024-09-18 18:11 上海

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对于正方形或直角三角形背景下的几何计算和几何证明问题，借助其直角的特殊性，可以利用“解析法”进行解答。即通过选择合适的“直角”建立平面直角坐标系，通过借助点的坐标或直线解析式，利用交轨法或距离公式求出关键点的坐标或某条线段的长度，进而达成目标结论。

利用解析法进行几何证明或几何计算的一般路径：

① 选定合适的平面直角坐标系(一般选取直角三角形的顶点或正方形左下方的顶点为坐标原点，再以顶点所在直角的两边为坐标轴建立平面直角坐标系，尽量建立在第一象限)；

②尽量表示出图中所有点的坐标(已知长度的点、中点、线段上的分点等)

③选择合适的未知点设元，利用距离公式或线段间的等量关系建立数量关系。

④可以通过设出直线的解析式，利用交轨法求出关键点的坐标。

与直角三角形相关的几何证明和计算问题

解法分析：本题要求的是线段DE的长度。由于点E和点G都是动点，因此相对应的线段AG和GF的长度也是不确定的，本题如果采用常规的方法计算比较复杂，因此可以采取解析法进行解决。

由于该三角形是等腰直角三角形且腰长确定，若以AC、AB为坐标轴建立平面直角坐标系，则可以表示出点A、B、C、D和F的坐标。

由于点G随着点E的运动而运动，因此不妨设点E的坐标为(t,0)，进而利用中点坐标公式，利用含t的代数式表示点G的坐标，再利用距离公式求出AG和GF的长度，当AG=GF时，可以求出t的值，进而利用距离公式求出DE的长度。

解法分析：本题涉及到的是等腰三角形存在性背景下求线段CP长度的问题。已知条件中已知了AC和BC的长度，因此可以通过勾股定理求出AB的长度，同时可以求出斜边CM的长度，当CM=CP时，可以直接求解。但是对于CM=MP或MP=CP这两种情况时，对于辅助线添加的要求较高，很多同学对于这两种情况没有思路。

因此可以以AC、CB为坐标轴建立平面直角坐标系，表示出点A、B、C、M的坐标。

由于点P在∠ACB的平分线上，即点P在一三象限的角平分线上，因此不妨设点P(x,x)，进而就可以借助距离公式，用含x的代数式表示CP和MP的长度，从而解决另两种情况。

与正方形相关的几何证明和计算问题

解法分析：本题要求的是△AGF的面积。△AGF的任意一条底或者高难以用字母表示，因此利用割补法求其面积。可以将△AGF的面积表示为△ABF和△ABG的差，由于△ABF的面积是正方形面积的一半，因此对于△ABG而言，只需要求出AB边上的高即可。

常规的方法在于利用三角形的相似或解三角形求解。但是涉及到需要多次相似或多次解三角形，比较繁琐，因此可以利用解析法解决。

由于正方形的边长确定，且E和F为线段的分点，若以BC、AB为坐标轴建立平面直角坐标系，则可以表示出点A、B、C、E和F的坐标。

由于AB边上的高为点G的横坐标，因此可以通过联立直线AE和直线BF，利用交轨法求出点G的坐标，进而求解。

解法分析：本题涉及到的是正方形背景下的等积式证明。本题的难度在于对于系数2的化简。常规的方法是联结AE和AF，多次证明全等或相似，进而得证等积式的最终结果。

本题也可以利用及西方进行证明。以AB、CB为坐标轴建立平面直角坐标系，表示出点A、B、C、D的坐标。

由于关键点E、M、N、F都在线段EF上，因此不妨设点E(a,0)，进而求出直线AC、EF的解析式，通过将直线AC与EF联立，求出点N的坐标；通过将直线EF和AD联立，求出点M的坐标。但是本题的难度在于利用距离公式表示线段的计算量较大，因此本题还是推荐利用几何法进行证明。

由此可以看出，解析法也是解决与直角三角形、正方形等几何图形有关的几何计算问题的一种方法。利用解析法解决平面几何问题，一是要根据图形特征建立适当的平面直角坐标系，将有关线段的长度转化为某些关键点的坐标；二是要将几何问题转化为代数问题，通过求某些直线的表达式或某些点的坐标解决问题。

但是，不是所有的问题都可以利用解析法进行解决的。当对于直角三角形或正方形背景的几何证明或计算问题没有思路，且主动点的个数为1个时，可以考虑借助解析法建立平面直角坐标系助力问题解决。

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