从如何折赵爽弦图到十字形模型的应用
文摘
教育
2024-07-22 10:25
上海
如下图所示为“赵爽弦图”，如何通过折正方形纸片，既能折出外弦图，又能折出内弦图呢？![]()
如下图，呈现了利用正方形纸片折出赵爽外弦图和内弦图的一般方法：首先，将正方形ABCD两次对折找出正方形的中心O；其次，在边AD上任意取一点E，将纸片沿着EO折叠，与边BC交于点F；再通过折叠纸片，使得GH与折痕EF垂直，点G、H分别在AB和CD上；然后，顺次联结E、G、F、H，即可得到外弦图；最后，将正方形纸片沿着GE、EH、HK、GF翻折，即可得到内弦图。![]()
我们可以发现，能够折出赵爽弦图的原理在于利用了正方形的旋转对称性，再通过4对全等的直角三角形，结合翻折的性质就可以折出赵爽弦图。其中的图2是典型的“十字型”模型，下面我们就来仔细分析下十字型模型的特点及其典型变式。
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如图1所示是典型的“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相垂直的“十字形”，由此产生了两组相等的锐角以及一组全等的三角形。将基本模型进行变式，得到了以下的三种特殊情况：
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如图3和4所示是“十字形”模型的变式1和2，即将正方形中的顶点移动到边上，即正方形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的长度是相等的。通过平移线段构造如图1所示的基本图形，再借助全等三角形和平行四边的性质证明线段相等。![]()
如图9所示是“十字形”模型的变式3，即将变式2中的正方形变为了矩形，，即矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造如图1所示的基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。![]()
在与“十字形”模型相关的几何证明和计算中，其难点在于发现隐含的模型，再将其“还原”成正方形或矩形背景下的基本图形。
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练习1中的十字形模型是正方形背景下的，通过DE⊥CF，发现全等三角形，再结合平行四边形的判定得到FG//CE且FG=CE。
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练习2中有两组矩形背景下的十字形模型，要求CN:BM的值，就是求CD:BC的值。而根据EF:GH的值，通过平移线段化为变式3的基本图形，得到EF:GH=AB:BC，从而求得CN:BM=AB:BC。![]()
练习3不是典型的“十字形”模型，根据∠ACB=90° ，CE⊥BD，将图形还原成矩形背景下的十字形模型，再根据图中的相似三角形以及X型基本图形，求得AE的长度。![]()
在翻折问题中，当出现隐含的“十字形”模型时，可以将图形还原成变式2和变式3的基本图形，再结合图中的全等三角形或相似三角形求得线段的长度或线段的比值。
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练习1通过联结对应点A和E，即构造了十字形模型，根据变式1的基本图形，可得折痕FG的长度就是AE的长度，通过勾股定理即可求解。
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练习2中不是典型的“十字形”模型，根据∠B=90° ，AM⊥DN，将图形还原成矩形背景下的十字形模型，根据翻折后的全等三角形的性质以及一线三等角的基本图形，借助比例线段求得BE的长度，最后得到DN:AM=BE:AB.![]()
练习3不是典型的“十字形”模型，根据∠ADB=90° ，AB⊥OD，将图形还原成矩形背景下的十字形模型，通过设出点D的坐标，再根据图中的相似三角形以及勾股定理，求得点D的坐标，再求出比例系数k的值。![]()
练习4中通过借助图中的十字形模型，发现等角，继而借助相似三角形的性质以及锐角三角比进行计算。
