直角三角形全等判定定理的若干思考

文摘 2024-10-21 22:16 上海

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三角形全等判定的分类和依据

在沪教版教材中，三角形全等的判定隶属于七年级下册第十四周14.4节的内容。对于全等三角形四条判定的引入是从画三角形开始的。

通过给定的三个元素，分别为如下几种情况来画三角形：①两角及其夹边；②两角即其中一角的对边；③两边及其夹角；④三边。这样的设置一方面复习六年级下中涉及的尺规作图(画一个角等于已知角、画一条线段等于已知线段)，又为全等三角形的判定奠定基础。

对于全等三角形的判定是从边和角的角度进行分类讨论的：①三个角对应相等(由于缺少边的条件，这两个三角形只能满足形状相等，也就是九年级所要学习的相似的判定定理1)②两角及一边对应相等(分别两角的夹边及其中一角的对边对应相等)；③两边及一角对应相等(分别是两边的夹角及其中一边的对角对应相等，后者是不一定能判定两个三角形全等的)；④三边对应相等。

以上四大类共分为6个小类，其中A.S.A、A.A.S、S.A.S和S.S.S是能够借助叠合法进行证明的，但是A.A.A不能判定三角形全等，S.S.A这种情况是最为特殊的，我们可以通过一段作图的过程进行分析：

如左图，作锐角∠PAQ，在射线AP上截取线段AB，以B为圆心，任意长为半径作圆，与射线AQ交于点C和点C'，得到了△ABC和△ABC'，由于∠A是公共角，AB是公共边，BC和BC'是同圆的半径，因此满足“两边及其中一边的对角”相等这一条件，但是△ABC和△ABC'显然是不全等的。如右图，当移动C点，我们发现，当点C和点C'重合的时候，此时的△ABC和△ABC'是完全重合的，因此这种情况下“边边角”是可以判定三角形全等的。由于点C和点C'重合，因此此时∠C=∠C'=90°，由此就产生了如下的猜想：边边角能否判定直角三角形全等？

边边角能否判定直角三角形全等？

在分析“边边角”能否判定直角三角形全等，就需要思考两个直角三角形中，“边边角”对应的情况有几种。若对应相等的角是锐角，这种情况成立么？由于直角三角形隐含了直角这一条件，若对应的是锐角，则出现了两个角对应相等，与“边边角”的背景不符，因此对应相等的角只能是直角。若对应相等的两条边是直角边，这种情况成立么？由于对应相等的角是直角，这种情况就变为了“边角边”，也是不符合题意的，因此对应相等的两条边只能是斜边和一条直角边。

问题就转化成了“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形是否全等”。

直角三角形全等的判定证明过程

利用对称性进行证明

01 利用轴对称的性质，将相等的直角边重合拼接

通过类比全等三角形中利用“叠合法”证明三角形全等，可以通过拼接的方法将两个直角三角形拼接成一个大的等腰三角形。实际上就是利用翻折的性质，相当于将Rt△ABC沿着AC边翻折得到等腰三角形。

由于AC=A'C'，∠C=∠C'=90°，因此可以将AC和A'C'重合，从而得到B、C(C')、B'三点共线，通过拼接成的大等腰三角形ABB'，利用等腰三角形的性质找到另一组角或边，进而利用前四种全等三角形的判定进行证明。

首先给出第一种证明方法：将△ABC和△A'B'C'的直角边AC和A'C'重合，由于∠C=∠C'=90°，因此B、C(C')、B'三点共线，根据等腰三角形等边对等角，得到∠B=∠B'，进而利用A.A.S.的方法判定两个三角形全等。

对于上述这种证明方法，还可以利用“等腰三角形的三线合一”定理，得到BC=B'C，从而利用S.S.S.的方法判定两个三角形全等。

02 利用轴对称的性质，将相等的斜边重合拼接

第一种对称方法：鉴于第一种方法是沿着直角边“翻折”，那么也可以将Rt△ABC沿着斜边AB翻折，也就是将这两个三角形将斜边重合进行拼接。对于这种拼接方式，有两种解决路径。

路径1：利用角平分线的性质定理的逆定理证明等角。

路径2：利用等腰三角形的性质进行证明(等边对等角和等角对等边)证明另一组等边。

第二种对称方法：以AB的中垂线为对称轴，作点C过于该对称轴的对称点C'，通过延长BC和BC'构造等腰三角形进行证明。将两三角形斜边AB和A’B’重合，如图放置，延长AC、BC’交于点P.

第三种对称方法：以两个直角三角形的边BC和B'C'为对称轴，进行翻折，得等腰△ABE和△A'B'E'，从而通过证明这两个三角形全等，导出等角，进而证明三角形全等。

若采用中心对称的方式进行拼接，此时仍然缺少角的条件，无法证明，因此此种方式是无法达成的。

通过作斜边上的中线构造全等三角形

类比七年级证明“全等三角形对应边上的高、中线和角平分线”相等的证明过程，可以通过作斜边AB和A'B'的中线CD和C'D'，通过构造全等+等腰三角形，实现角的转化，从而进行证明。

由于沪教版教材中，直角三角形的性质在直角三角形判定章节的后面，因此可以在学完性质后增加判定的证明方法。同时，作角的平分线、高线、或其他边上的中线均无法证明。

可以发现，以上几种方法，在添加辅助线时，都是围绕着构造等腰三角形，从而利用等腰三角形的性质导出等边或等角，从而进行转化证明三角形全等。

利用勾股定理进行证明

在学完勾股定理后，用来证明直角三角形的判定就会简单很多。采用勾股定理，就是从“数”的角度，通过运算进行证明。

利用反证法进行证明

课标中指出：在让学生感知反证法作用的同时，还要让学生感悟反证法的逻辑和论证流程，感知矛盾律和排中律，形成初步的推理能力。

在本题中，可以使用反证法进行证明：

点个在看你最好看

http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIyOTkxNzMyNA==&mid=2247589045&idx=1&sn=241515bc4ecb7b27b4737e83cad791f4

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