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2024年9(10)月部分学校阶段测试压轴题解析(二)

文摘 2024-10-13 10:28 上海

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一线三直角与尺规作图背景下综合与实践问题

解法分析：本题是一线三等角和尺规作图背景下的综合与实践问题。题目的设置在于发现模型→借助模型解决特殊背景下的作图问题→通过特殊背景的问题解决经验推广到一般情境。

本题的第(1)问和常规的一线三直角背景略有不同，对于常规的背景，往往是∠AEB=90°，而本题的背景是∠ABE=90°。因此需要通过添加辅助线，将图形转化为我们熟悉的背景。

本小问的突破口在于构造“一线三直角”基本图形，即将左图“补”成右图的形式，构造相似三角形，从而利用相似三角形的对应边成比例助力问题解决。

本题的第(2)问是一道作图题，可以通过【设计】和【操作】画出符合题意的图形，在第(1)问的基础上明白作图的依据，即构造△AEC与△BCF相似，从而为第(3)问非平行背景下的作图提供依托和原理。

本题的第(3)问的难点在于直线a和直线b不是平行线，和问题(1)和问题(2)的背景有很大区别，因此对于第(3)问需要构造平行线，同时构造与一线三直角型的相似三角形，进而利用尺规作图。

同类题链接

与构造“一线三等角”基本图形相关的综合与实践问题的同类问题如下：

平行型基本图形背景下的综合问题

解法分析：本题是梯形背景下与平行型相关的综合问题，主要涉及证明线段中点、相似三角形的存在性问题求线段长度、求三角形的面积。

首先分析图中基本图形：根据AE//BC，有一组AE-BC-A型基本图形，根据BF=2EF，可以确定这组基本图形线段间的数量关系；还有一组AD-CG-X型基本图形，但是要先证明G为BC中点，才可以得到线段间的比例关系型。

根据GF//CD，有一组GF-CD-X型基本图形，这组基本图形线段间的数量关系依托DP:CG的值，才能确定剩余的线段的比例关系。

本题的第(1)问要证明点G为BC中点，根据前面的分析，要证明G为BC的中点，需要添加辅助线，因此依托GF//CD，通过延长BE、CD交于点Q，多次利用图中的平行型基本图形，最后借助GF-CP-A型基本图形进行证明。

本题第(2)问的题设给出了△FGP∽△FGC，通过角之间的大小关系，可以得到∠FGP=∠FCG，再利用FG//CD，得到∠FGP=∠GDC，从而证明得到△CGP∽△DGC，利用共边共角型相似基本图形，得到一组等积式。除此以外，还需要利用AD-CG-X型基本图形，确定DP和GP之间的比例关系，进而代入等积式中求解。

本题第(3)问是是求△PCG的面积，这个三角形的底CG=2，因此问题就在与如何求CG边上的高PK。通过借助AD//CG，反向延长KP至点N。因此要求PK的长，就在与需要知道①NK的长度(即AB的长度)；②求出PK:NK的值。

对于②依托AD-CG-X型基本图形，可以求出DP:PG的值，进而再利用NK-GK-A型图求出PK:NK的值；对于①利用另一已知条件(∠EDP与∠AFE互补)，延长GD、BE交于点M，构造相似三角形△AFE和△EDM(先需要利用DE-BG-A型图证明EM=BE)，进而利用线段间的比例关系求出EM(BE)的长度，再利用勾股定理求出AB长度，进而求出PK的长度。

点个在看你最好看

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