与抛物线旋转运动相关的问题及其变式

文摘 2024-05-10 15:00 上海

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2018上海中考真题解析

解法分析：2018上海中考24题中题目的背景涉及到线段的旋转问题。本题的第(1)问是典型的利用待定系数法求抛物线解析式的问题。

解法分析：本题的第(2)问先根据题意画出旋转后的点P，对于求线段CD的长有两种策略:策略1是设出点D的坐标，然后用点D的坐标表示CD的长度，继而表示出点P的坐标，再将点P的坐标代入抛物线中求解；策略2是设出CD=t，用含t的代数式分别表示点D和点P的坐标，再将点P代入抛物线中求解，可以直接求出t的值，进而求出线段长度。两种策略虽然都可以解决问题，但是显然策略2相较于策略1而言既简化了运算，也避免二次求解。这也和往常我们求解的顺序略有不同。

解法分析：本题的第(2)问涉及到了点的平移运动，由于从点C运动到点O，因此可以确定抛物线的运动路径，进而确定点E的坐标。由于点O、E、D的坐标是确定的，因此点M可能在O上方，也可能在O下方，因此需要分类讨论。而以O、M、D、E为顶点的四边形为梯形，因此对于面积的表示和求参数m的值都是比较容易的。

2018上海中考真题变式练习

变式练习1

以下变式由闵行区浦江二中陈萌老师设计

解法分析：本题是基于2018年上海中考24题的变式练习。由原题的“旋转90°”转化为“旋转120°”，和上一题的区别在于多了作高解三角形，同时由于本题的顶点在第四象限，因此对于点P和点D坐标的描述需要注意符号。对于问题3和问题4依旧是基于平移背景产生的，解题路径和原题相仿。

变式练习2

2024浦东一模24题第(3)问

解法分析：本题的第(3)问涉及了抛物线的平移运动和点的旋转运动。根据CE=EF=t，结合∠CEF=135°，可以用含t的代数式表示出点F的坐标，再将点F的坐标回代回平移后的解析式中，即可求出t的值。

方法小结

对于以上问题可以发现旋转中心都是在抛物线的对称轴上，因此可以确定旋转中心的横坐标，结合旋转前后线段长度不变的性质，可以设旋转前的线段长度为t，结合旋转角的特征，用含t的代数式表示出旋转后点的坐标，再代入原(平移后)抛物线中，即可求出相应的点的坐标和线段长度。

2023新疆中考真题

解法分析：本题的第(1)问是典型的“一线三直角”基本图形。根据垂直定义可得∠ACB＝∠BDE＝∠ABE＝90°，利用同角的余角相等得∠A＝∠EBD，即可证明△ACB≌△BDE。

解法分析：本题的第(2)问中的①先求得A(0,3)，B(-1,0)，过点C作CG⊥x轴于点G，则∠BGC＝90°＝∠AOB，进而证得△BCG≌△ABO，得出BG＝OA＝3，CG＝OB＝1，OG＝OB+BG＝4，即可求得点C的坐标；②运用待定系数法即可求得直线AC的解析式；

解法分析：本题的第(3)问需要借助“一线三直角模型”进行问题的解决。只是将构造全等三角形转化为相似三角形。先求得A(-1,0)，B(4,0)，C(0,-4)，分两种情况：当点M在x轴上方时，当点M在x轴下方时，分别构造直角三角形，利用相似三角形的判定和性质即可求得直线BM上特殊点的坐标，运用待定系数法求得直线BM的解析式，联立方程组求解即可得出点M的坐标。

2023新疆中考真题变式练习

变式练习1

以下变式由闵行区浦江二中陈萌老师设计

解法分析：本题是基于2023年新疆中考23题的变式练习。由原题应用“一线三直角”基本图形转化为“旋转45°”角。本题第(2)问的①解题策略在于构造“一线三直角基本图形”，即过点B作BA的垂线与直线AC相交于点E，借助全等三角形，可以求出点E的坐标，继而确定直线AC的解析式，利用交轨法求出点C的坐标。

解法分析：本题第(2)问的②只需要找准临界位置。即平移后的抛物线经过点A和点C，求出此时的顶点D1和D2，即可确定点D运动的路径长。

变式练习2

2024宝山二模24题第(2)问

解法分析：本题的解题思路在于利用顶点式公式或者配方法表示顶点A的坐标，再利用待定系数法求出直线PA的表达式，如果没有迈出求出顶点A和待定系数求表达式的一步，整道题就无从下手了。

解法分析：本题的第(2)问涉及到了图形的旋转问题，因此构造一线三直角全等形基本图形是问题解决的关键。但是需要注意的是点A在第二象限，点Q在第三象限，点坐标的符号在标注时不可出错，不然就会出现差错。

方法小结

对于平面直角坐标系中的斜线段旋转问题，往往以旋转中心为顶点构造一线三等角基本图形，借助构造后的全等三角形对应线段相等，表示出旋转后的点的坐标。

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