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2024初三部分区期中试卷特色题解析(2)

文摘   2024-11-12 21:12   上海  

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01


杨浦区期中试卷特色题分析

几何综合25题解法分析

解法分析：2024杨浦区第25题几何综合题是等腰梯形背景下与解三角形相关的综合性问题。
本题的第(1)问是常规的求梯形面积的问题，可以过点A、D作BC边上的高，需要注意的是证明图形中的矩形以及全等三角形，注意写法的规范性。

本题的第(2)问是特殊背景下求∠C的余弦值。在(1)的背景下，结合垂直平分线的条件，不妨设AB=AD=CD=HI=2a，BH=CI=b。借助已作的Rt△DIC和已知的Rt△BCF，借助算两次原理，得到a与b的数量关系。这里提供两种做法：
解法1：利用“同角的三角比相等”，在不同的三角形中表示cosC

解法2：借助垂直平分线的性质定理，利用勾股定理建立数量关系

本题的第(3)问先根据题意画出符合题意的图形。其次可以利用几何法和代数法进行证明。
解法1：利用特殊四边的判定和性质证明AGCD为菱形

解法2：利用同角的三角比相等，借助方程思想建立等量关系


02


黄浦区期中试卷特色题分析

函数综合24题解法分析

解法分析：2024黄浦期中24题是平面直角坐标系背景下与新定义相关的问题。本题的本质实质上就是“一线三直角”基本图形。本题的第(1)问和第(2)问根据题意画出符合题意的图形后。利用图中的“一线三直角”基本图形建立线段间的比例关系。
本题的第(2)问中涉及到相似三角形的存在性问题，需要分类讨论。可以通过第(1)问中的相似三角形，用字母表示三角形的边长，从而简化计算。

本题的第(3)问先根据题意画出图形，求出点B的坐标。继而根据直线AB的解析式，可以发现直线AB与坐标轴所成的角为45°，进而发现∠OEB=45°，从而结合已知条件，根据等量代换得到∠BFO=∠EBO，从而发现，当点F在点O上方时，△FOB和△EOB是一组共边共角型的相似三角形，从而求出点F的坐标，进而再利用对称性求出另一个F点的坐标。

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几何综合25题解法分析

解法分析：2024黄浦期中25题是平行四边形背景下的综合问题。
本题的第(1)问通过角的转化，借助解三角形求得线段的长度。

本题的第(2)问需要建立DG与BE间的函数关系。如图2，很容易联想利用DG-CE-A型基本图形，但是线段DF的长度很难用含x或y的代数式表示。结合图中的等角，可以发现△ABE和△AEG是一组共边共角型的相似三角形。其中线段AE的长度可以通过过点A作BC的垂线，利用勾股定理求解，这种情况也(1)中呈现的，因此表示起来并不困难。
本问的难点在于定义域的临界位置的确定。分别是点G和点D重合，即y=0的情况以及EG//CD的情况，此时通过角的转化，可得AE=BE。

本题的第(3)问是等腰三角形的存在性问题。由于ABE和△AEG是相似的，因此可以得到△ABE是等腰三角形，只需要对△ABE进行分类讨论即可。常见的方法就是利用等腰+底角的余弦，通过做高法进行求解。

等腰三角形存在性问题的解题方法

第一步：确定问题解决的方法

①当已知三角形不便于讨论（即边或角难以用字母参数表示）时，可以寻找与已知三角形相似的目标三角形（这个目标三角形有一条定边长的边和一个确定三角比的锐角）进行分类讨论.
②当目标三角便于讨论时，可以充分结合等腰三角形的性质定理和判定定理进行讨论：

如图(a)所示，若△ABC为等腰三角形，AB=AC，则∠B=∠C（等腰三角形的性质定理）；过顶点A作AD⊥BC，垂足为点D，则有AD平分∠BAC，BC=2CD，（等腰三角形的三线合一定理）同时根据腰、底以及底角的余弦，可以得到如下的数量关系：
第二步：确定等腰三角形讨论问题的一般解题步骤

第三步：对于不可能情况的排除

① 可以借助图形特点或者边角的相关性质排除一些不可能的情况

如图（c）：AB=AC，D为边AC上一动点，不与A、C重合.若△BCD为等腰三角形，则排除BD=CD的情况，由∠ABC=∠C>∠BDC，此时D与A重合，不合题意；

      ② 当该三角形是直角三角形或钝角三角形时，只有一种情况，不需要分类讨论：如图(d)，此时有且仅有AF=EF这一种情况。

        ③ 对于动点问题，需要讨论点在线段或其延长线上的情况，即先对动点分类讨论，再对等腰三角形的存在性分类讨论.


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