从一道25题的一题多解破解压轴题的解题策略
文摘
教育
2024-05-07 06:28
上海
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本题是矩形背景下与求函数解析式、证明三角形相似和等腰三角形存在性相关的问题。本题的第(1)问和第(2)问是比较常规的问题。本文重点探讨第(3)问的解题策略。
由∠FAE=∠BAD=90°，因此可以得到∠FAB=∠DAE，因此可以得到△ADE∽△ABF，本题的第(1)问也就迎刃而解。![]()
根据△ADE∽△ABF，可以得到AE:AF=AD:AB=3/4，因此可以确定∠AEF的三角比是一个定值。对于本题的第(2)问可以采取两种策略，由于BF=AD=3，因此可以直接求解△AEF的任意两边，利用相似三角形的判定定理2进行证明；也可以利用三角比，即证明tan∠AEF=tan∠BFA进行证明。
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对于等腰三角形的存在性问题需要分类讨论。而对于压轴题的常见破解之法无疑落脚点在于求边长或者求角度。方法1：用含x的代数式表示出AG、AE和GE的长度借助GB-CE-A型图，可以表示出GB的长度，继而求出AG的长度，同时可以借助勾股定理和比例线段表示GE的长度；对于线段AE，则在Rt△AED中利用勾股定理求解。采用这种方法，是没有巧思的常规解法。对于任意一个三角形，只要知道其中的三个元素(必含有一边)，那么这个三角形就是可解的，这个方法可以用于所有的求边长或求比例的问题中，但是采用这种方法，往往会引入高次方程，使得解方程变为了一件困难的事情，因此，①当边的长度便于用未知数表示(不涉及高次方程)或②没有更巧妙的方法时，可以采用这样“暴力求解”的方法。由于本题是矩形的特殊背景，因此借助平行线间的等角，可以将问题转化为“相似三角形中的比例线段”、“直角三角形斜边的中线”以及“全等三角形”这三种特殊背景进行求解，简化运算。![]()
通过第(1)问的启发，可以发现∠3的三角比是一个定值，因此借助平行线间的等角转化，可以表示出∠2和∠1的三角比，再进行分类讨论即可。“三角比”是一种界于边和角求解的中间方法。当出现等角的背景，借助锐角三角比求解也是一种颇为常规的解法。
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通过前两问的铺垫，可以发现∠3近似为53°，而AG边上的高是一个定值，因此在“已知定角+一边上的定高+等腰锐角三角形”的背景可以解出△AGE的所有边的长度。对于近似53°角在顶角或底角的等腰三角形，可以通过“等积法”做高求出另一个角的正切值。![]()
对于第25题的几何综合题，题型和辅助线的添线方法是变换莫测的，解决复杂压轴题的常见策略就是从图形本身出发，寻找题设和结论之间的桥梁，添加辅助线的目的也是为了借助上述提及的4种方法(解三角形求边长、倒角、借助锐角三角比、借助特殊角解三角形)进行问题的破解。而常见的“基本图形分析法”是为了更加明晰图形的特征，对于辅助线的添加不会走弯路。
