八年级常见几何和函数模型汇总(精华)
文摘
教育
2024-06-19 10:35
上海
八年级几何的重点主要围绕“四边形判定和性质”和“直角三角形性质”展开，其中很多模型在之后的九年级的学习中起着重要的作用。
八年级函数主要围绕正比例函数、反比例函数和一次函数的解析式、性质、图像展开研究，并结合三角形和四边形相关的内容进行考察。主要的题型涉及“三角形的存在性”、“三角形面积求法”、“平行四边形存在性”、“菱形、矩形存在性”。
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②中心对称模型特点：我们往往可以根据图形中的中点构造全等三角形。![]()
等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线“三线合一”；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，并垂直于斜边，平分顶角。![]()
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中点四边形的特点：任意四边形的中点四边形都是平行四边形，根据对角线的性质(相等或垂直)会出现如下图不同的中点四边形：![]()
对于普通的直角三角形而言，需要掌握直角三角形斜边中线的性质。
另外有两类特殊的直角三角形：30-60-90以及45-45-90的特殊直角三角形的性质，需要熟练掌握这两类三角形边之间的数量关系。同时，当一个斜三角形中出现特殊角，即30°和45°角，则需要联想通过作高法构造直角三角形，利用勾股定理求出边的长度。![]()
②注意：该定理的逆命题是真命题，但是需要证明才可以运用：
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③30-60-90以及45-45-90的特殊直角三角形的性质：![]()
④30°-60°-90°直角三角形中的压轴题(点击下方图片跳转)，注意此类问题需要注意“点在线段或其延长线上”。
⑤等腰直角三角形背景下的压轴题往往与旋转、翻折相结合，常见的辅助线添线方法如下：![]()
除此以外，还往往通过构建“一线三直角模型”，构造全等三角形，达到构造相等线段的目的。
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⑥对于旋转型问题，往往会产生共顶点旋转的等腰三角形，从而产生“手拉手三角形”，此时会产生全等三角形。![]()
常见的特殊四边形是平行四边形、菱形、矩形、正方形和梯形。这些四边形中常见的模型如下：①平行四边形的判定是考察的重点，往往可以通过证明三角形全等达成。![]()
②矩形中常见的模型时矩形的翻折模型，往往利用勾股定理解决。勾股定理也是直角三角形中常见的工具。![]()
③菱形中常见的模型是：有一个内角为60°的“半角模型”。
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④正方形中常见的模型较多，主要围绕“一线三等角模型”、“对角互补模型”、“手拉手模型”。
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在压轴题中往往采用以下的方法进行辅助线的添加：
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②当三角形中的任意一边不与坐标轴平行时，其面积的一般求法主要有以下五种，根据题意选择恰当的方法进行面积求解：![]()
可以点击下方链接进行跳转：③坐标系中等腰三角形和直角三角形的存在性：
一般步骤如下：①利用距离公式求出三角形的三边长度；②若为等腰三角形，则任意两边对应相等；③若为直角三角形，则利用勾股定理求解。
④一次函数背景下平行四边形的存在性：
注意平行四边形ABCD和以“A、B、C、D”为顶点的区别，常常以对角线为分类讨论，利用中点坐标公式进行解题。
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⑤一次函数背景下菱形的存在性：常见的背景是“两定两动”，按照两定点分类讨论，即以这两定点为边或对角线分类讨论，菱形的存在性可以类比等腰三角形的存在性。⑥一次函数背景下矩形的存在性：常见的背景是“两定两动”，按照两定点分类讨论，即以这两定点为边或对角线分类讨论，矩形的存在性可以类比直角三角形的存在性。![]()
⑦一次函数背景下梯形的存在性：利用“对边平行，直线斜率相等”计算。对于等腰梯形的存在性利用距离公式使两腰相等，或利用底角相等简便运算；对于直角梯形的存在性利用勾股定理进行计算。![]()
⑦一次函数背景下等腰直角三角形的存在性可以建立“一线三直角模型”，同样，对于正方形的存在性也可以按照如下的方式进行。![]()
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