文章刊登于《时代教育》杂志2024年6月下旬刊（第12期）
课题：本文系新疆师范大学预科教育学院课题研究项目“基于APOS理论高等数学概念的信息化教学模式设计与实践研究”（2023ykf03）阶段性成果
本文基于APOS理论，并借助于数学动态作图软件GeoGebra，设计了微积分中导数概念的教学，帮助学生从数、形两个方面理解导数的概念，使概念的形成过程直观和具体化，有助于学习者理解导数的概念。
微积分的课程内容比较抽象，高度符号化的概念对于部分学生来说学习难度较大。在现实的教学过程中，部分学校通常以教师的讲授为主，教师先按照课本中的内容进行简单引入，然后通过语言解释描述概念，从而实现知识的传授。在这种以教师为主体的教学模式下，学生无法体会到概念产生的过程，也就不能真正理解概念的意义。
APOS理论强调了学生在学习数学概念时需要进行心理建构，而这一建构过程可以分为四个阶段，即活动、过程、对象、图式。在此过程中，教师可以配合使用GeoGebra作图软件，即把抽象的数学问题通过作图的方式转化成直观的动态图像，并通过操控图像形成动态的变化过程，帮助学生探究概念的形成过程，有助于学生在大脑里构建数学概念。
一、APOS理论的四个阶段与GeoGebra软件的应用
（一）活动阶段
活动阶段是学习者通过一系列外显性的指令去改变数学对象的过程。数学概念的本质是内隐的，需要经过一系列外显的探究活动来获得[1]。活动阶段是学生构建数学概念的起点，学生需要通过外显的活动，如计算、操作、实验等来体验背景材料中具体问题之间的共性关系。此阶段要重视学生对知识发展过程的学习，在探究的过程中，教师可以利用GeoGebra作图软件，将抽象的数学问题转化为具体的动态图像，进而可以直观地观察其中的变化规律，为下一个阶段的观察、总结、归纳提供了前提条件[2]。
（二）过程阶段
过程阶段是对外显数学活动的进一步思考过程。当学习者经过多次重复活动并对其熟悉后，便会在头脑中对活动进行描述，通过一系列的思维内化过程，学生能够对活动进行描述和反思，并抽象出数学概念的本质特征。在这一阶段的过程中，教师可以利用GeoGebra作图软件，通过改变条件，从数和形两个角度观察变化过程，最终找到其中隐含的变化规律，归纳总结数学概念的本质特征[3]。
（三）对象阶段
在程序阶段的基础上，当个体能够认识到概念的本质，并能把抽象出的概念赋予形式化的定义及符号，使其成为一个具体的对象，在以后的学习中能够以此为对象进行新的活动。在整个过程中，教师可以借助GeoGebra软件寻找数学概念的本质特点并进行符号化的表示，最终通过教师对例题的讲解，让学生从中学会利用数学概念来解决数学问题。
（四）图式阶段
图式阶段是与其他概念建立联系，最终形成知识的综合图式，并把这个图式纳入自身的认知结构中，与已有的知识建立新的实质性联系。在这个阶段中，教师要对数学概念进行总结梳理，并利用思维导图的形式，把概念产生的过程完整地呈现出来，进而帮助学生建立完整的数学概念知识体系。
在GeoGebra环境下，上述四个阶段及其关系如图1所示。
二、导数概念的教学设计
（一）创设情境，领悟内在联系
根据APOS理论，在活动阶段创设问题情境，能引导学生通过具体的问题来参与问题的探究过程。同时，运用GeoGebra作图软件形成了图像，学生可以通过观察几何图形的特点和精确计算的结果，发现内在的联系。例如，教师可以先让学生观看关于我国高铁的一个短视频，让他们进一步了解中国高铁的发展情况。学生在视频中可以看到高铁的每节车厢内都有一个显示实时速度的电子屏，能看到每个时刻高铁的运行速度，虽然运行速度很快，但其在弯道行驶过程中能够始终保持平稳的运行状态。
问题1：高铁车厢内电子屏显示的实时速度，如何计算得到？
问题2：高铁高速行驶在弯道时，还一直能够保持平稳运行，那么在轨道设计时就一定会考虑到曲线切线的问题，那么曲线切线的斜率怎么求？
学生活动1：已知质点的路程s与时间t的函数关系式为，求质点在2至4秒内的平均速度；利用GeoGebra作图软件画出函数图象，并从几何图形的视角来探究平均速度与曲线的割线斜率之间的内在联系。
学生利用物理知识中的平均速度计算公式，算出2至4秒路程增量除以时间增量，就得到了平均速度。学生通过计算可以发现，当时间间隔越小时，平均速度的变化越小，也越接近常数2，进而可以猜测这个常数就是第2秒的瞬时速度。此外，学生利用GeoGebra作图软件画出函数图象也可以发现，2至4秒平均速度在函数图象中就是割线MN的斜率，二者之间数值相同。
（二）探究问题，寻找共性结论
根据APOS理论，教师要通过具有启发性的问题，驱动学生进行抽象概括，进而引导他们不断深入思考。
学生活动2：在GeoGebra作图软件，移动N点的位置，如图2所示，让N点无限接近M点，结合函数图象探究如果当t无限接近2时，，那么质点在第2秒的瞬时速度怎么求？过P点的切线斜率怎么求？
教师可以利用GeoGebra作图软件改变取值范围，使点N无限接近点M，观察当时，平均速度和割线斜率的变化趋势具有的共同点，从中理解平均速度如何过渡到瞬时速度、割线如何过渡到切线，从而感悟极限的思维。在此过程中，学生可以从变化的数据和图形中发现，当
，平均速度越来越接近常数2，这个常数就是第2秒的瞬时速度，也就是说平均速度的极限就是瞬时速度，同时通过图2也能发现，曲线割线的极限位置就是切线，也就是说
割线斜率的极限值就是切线的斜率。
（三）总结归纳，内化导数概念
根据APOS理论，教师要引导学生对得到的结论进行归纳总结，进而找到共同特征，使概念的本质属性能够提炼出来，从而得到概念的严格定义，并进行符号化表示。教师通过概念的文字语言、图形语言以及符号语言进行有机结合和转化，使得结论能够成为一个具体的定义。而在此过程中运用GeoGebra作图软件，学生可以从数与形两个方面抽象出导数的定义，进而实现对概念的深层次理解。
学生活动3：观察得到的两个结论的表达式，它们之间有什么共同特点？
在上一个环节中，学生通过具体的物理问题和几何问题，得到了瞬时速度和曲线切线斜率的表达式，教师进一步引导观察，学生发现了两个表达式的共同之处，即当自变量的改变量趋于0时，函数的改变量与自变量的改变量，二者比值的极限，从而抽象出了两个问题的共同特征。教师将上述的结论进行符号化，得到导数的定义，并应用导数的定义求解某个函数在一点处的导数。
（四）梳理知识，内化深层图式
让学生通过画思维导图来总结梳理这节课的内容，这种方式能够有效帮助学生建立导数概念的图式，进而不断加深学生对概念的理解。为此，在设计思维导图时，教师要注重概念产生的逻辑，使学生形成完整的认知结构。
我们可以看出，APOS理论四个阶段能够明确指导导数概念的教学，把有限转化为无限，进而渗透了极限的数学思想，同时也让学生体会到了从特殊到一般的数学方法。这种教学方式使得学生能够清晰地理解导数概念的形成过程，促进学生对导数概念的理解。此外，利用GeoGebra动态的作图软件，教师可以将抽象的数学问题用直观的图像呈现出来，让学生感知导数概念生成的过程和几何意义，通过动手操作，观察图象与数据之间的变化规律，分析出数学的本质特征，从而得到导数概念的符号化定义。在概念生成的过程中也体现了数形结合的数学思想方法，让学生更容易理解概念的本质，促进了学生对导数概念深层次理解。（作者系新疆师范大学预科教育学院教师）
注：[1]鲍建生,周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海教育出版社,2009:35.
[2]李建涛.高等数学课程中基于GeoGebra软件的信息化教学[J].辽宁大学学报(自然科学版)2021,048(004):381-386.
[3]曾玉祥.APOS理论在高等数学概念探究式教学中的应用[J].教育探索,2013(05):42-43.
