天体的运动轨道
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2024-09-02 11:26
广东
利用角动量可以定义一个被称为隆格—楞茨矢量的守恒量，通过这个守恒量，可以轻易地推导出天体运动的轨道方程。![]()
在天体运动的过程中，除了角动量和总能量这两个守恒量外，还有一个并不是显而易见的守恒量。利用这个守恒量，可以轻易地推导出天体运动的轨道方程。
为了获得这个守恒量，我们尝试用速度与角动量作矢量积，并看一看这个乘积如何随时间变化：由于天体在运动的过程中角动量守恒，导数式中的第二项自然等于零，而在第一项中，速度对时间的一阶导数是加速度，它正比于天体所受的万有引力。利用《天体运动中的角动量》给出的结果，将角动量明确地表示出来，上述导数式就变成在最后一个等号后面，已经根据在《平面极坐标系》中对单位矢量求导数给出的结果，对导数式做了进一步的简化。把等号两边的式子合并在一起，得到一个恒等式：由此得到一个不随时间改变的守恒量：称之为隆格—楞茨矢量。
现在来讨论隆格—楞茨矢量的数值和方向。先将第一项明确地表示出来：由此得到隆格—楞茨矢量的展开式：一个常矢量的特点是，无论粒子运动到何处，这个矢量的数值和方向都保持不变。既然隆格—楞茨矢量是一个常矢量，那么，想要确定它的数值和方向就显得很简单了。只要在天体运动的轨道上找一个特殊的点，在这一点上把这个矢量计算出来，就能够将这个守恒量确定下。从隆格—楞茨矢量的展开式不难发现，选取近日点 点做计算是方便的。在近日点处，速度的径向分量等于零，最后一项消失：利用角动量的数值的表达式将第一项改写：根据《天体运动中的能量》给出的结果，第二个等号后括号内的第一项是动能 的两倍，而第二项则是引力势能 ，于是，如果天体的总能量取值使其以圆轨道运动，即 ，则用下标 标记这种情况下的各种物理量。由《天体运动中的能量》给出 ，由此得到：这个结果应该是预料之中的。由 的表达式可知，这个矢量的方向沿着太阳中心与近日点的连线。在圆周运动中，轨道上任意一点都是 “近日点”，这意味着在轨道的不同点处， 的方向不一样。然而， 是一个常矢量，要满足这个条件，唯一的可能是 。如果天体的总能量 ，则必有把两种能量状态下对总能量的比较和对势能的比较联合起来：由此得到在两种能量状态下对隆格—楞茨矢量的数值的比较结果：于是，在一般情况下，隆格—楞茨矢量的方向平行于从太阳中心指向近日点的方向。既然隆格—楞茨矢量有这样的特征，不妨选太阳的中心为原点，从原点指向近日点的方向为参考方向，建立平面极坐标系。在这个基础上，用径向单位矢量与隆格—楞茨矢量作标量积：引入两个与角动量和隆格—楞茨矢量的数值有关的参数：求解出径向距离与极角的函数关系：显然，这个用平面极坐标表述的曲线方程描写的是一条圆锥曲线。其中 被称为半正焦弦， 是曲线的偏心率。当 时，方程描写的是圆轨道，当 时，给出的是椭圆轨道，当 时，是抛物线轨道，而当 时，则是双曲线轨道。
