从复数的视角简要地回顾复变函数级数和复变函数幂级数的基本性质和收敛判别方法。
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我们刚刚从复数的视角对序列和级数这两个概念做了简要的回顾，引入了复数级数的概念。
如果复数级数的每一个通项都是定义在区域 内的复变函数：关于函数级数，在实变级数理论中有几个重要的结论，可以将它们直接推广到复变函数级数中：1.一个函数级数如果在区域 内的每一点都收敛，则它在 内收敛，是 内的单值函数；2.如果级数的每一个通项都在区域 内一条分段光滑的曲线上连续，则以该曲线为积分路径，级数可以逐项求积分；3.如果级数的每一个通项都在区域 内单值解析，则和函数是 内的解析函数，它的各阶导数可以通过对该级数逐项求导数得到。以上几个结论都是从实变级数中直接借用过来的，在今后处理各种数学问题时经常要用到。由于这个原因，在进一步学习与级数有关的课程之前，应该回到高等数学的课程中复习这些概念。
一般情况下，级数的通项可以是任意复变函数。不过，在物理学研究和工程技术计算中，更多的情况是：一个级数的通项是幂函数，在这种情况下，就把这个级数称为幂级数：我们注意到，在幂级数的通项中，，这意味着幂级数的每一个通项必定是单值解析函数。另一方面，幂级数在其收敛区域的任一闭区域内必定收敛，这意味着一个幂级数在其收敛区域内必定代表了一个解析函数。由于在今后处理许多数学物理问题的过程中经常需要用到幂级数，因此，在这里特别回顾如何处理幂级数收敛性的问题。这些处理方法可以通过将实变级数的处理方法直接推广到复数域而得到。
第一个判断级数收敛性的准则是达朗贝尔判别法。根据达朗贝尔判别法，如果以下极限存在：那么，当这个极限值小于 1 时，级数是绝对收敛的，而当极限值大于 1 时，级数则是发散的。把这个判别准则用到幂级数上，就得到如下极限值：令这个极限值小于 1，就给出了级数的收敛范围：
式中 就是确定级数收敛或发散的分水岭，称之为级数的收敛半径。如果求收敛半径的达朗贝尔公式所要求的极限不存在，就必须改用柯西公式来研究级数的收敛性。根据柯西判别法，级数绝对收敛的条件是如果这个条件不满足，则级数发散。把这个准则用到幂级数中，上述极限值的表达式变成由此就可以确定级数的收敛半径：
在上面求幂级数的收敛半径的两个方法中，达朗贝尔公式在计算上更为简单易用，但需要满足极限存在的条件。柯西公式则是普遍成立的，但计算却略显复杂。因此，在条件允许的情况下，一般都使用达朗贝尔公式计算幂级数的收敛半径。求出了级数的收敛半径后，以 点为圆心， 为半径作一个圆周，这个圆周所围的区域就是所研究的级数的收敛圆。当 的取值落在这个收敛圆的圆周内时，级数绝对收敛，落在收敛圆的圆周外时，则级数发散。如果 的取值刚好落在这个收敛圆的圆周上，则需要单独做额外的讨论。
