天体运动的力学方程

学术教育 2024-09-06 09:37 广东

利用牛顿运动定律推导出天体运动的动力学方程，并通过降阶运算进一步推导出能量守恒方程和角动量守恒方程。

作为角动量问题的一个应用实例，我们在前面讨论了天体运动过程中的角动量和能量，并引入了隆格—楞茨矢量守恒量，在这个基础上推导出天体运动的轨道方程。

求物体运动的轨道方程还有一个更一般的方法，那就是求解由动力学考虑出发导出的动力学微分方程。关于微分方程，在数学课程中会有详尽的知识细节。在这里，我们仅在物理学的层面上，讨论如何从基本物理原理出发，推导出相关的数学方程，以及如何去求解这样的数学方程。

我们知道，天体在绕太阳运动时，会受太阳的万有引力作用。根据牛顿运动定律，可以写出天体运动的动力学方程：

m\ddot{\vec{r}}=-\frac{GMm}{r^2}\hat{r}

正如前面所说，以太阳的中心为原点，从原点指向近日点的方向为参考方向，建立平面极坐标系。在讨论平面极坐标系时，已经写下了位矢与速度的表达式：

\vec{r}=\hat{r}r\ ,\ \vec{v}=\dot{r}\hat{r}+r\dot{\theta}\hat{\theta}

在这个基础上，进一步对速度求时间的一阶导数，就可以得到加速度的表达式：

\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2\right)\hat{r}+\left(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}\right)\hat{\theta}

把加速度的表达式代入动力学方程中，并按分量写出动力学方程的分量式：

\ddot{r}-r\dot{\theta}^2=-\frac{GM}{r^2}\ ,\ 2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}=0

仅凭经验就能够猜出，第二个式子预示了会有一个不随时间改变的量： $2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}=\frac{1}{r}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\left(r^2\dot{\theta}\right)=0$ 结果发现，在上面的等式中，小括号内的量不随时间改变。小括号内的这个量让我们想到角动量的数值在平面极坐标系中的表述形式： $L=mr^2\dot{\theta}$ 。于是，天体在运动的过程中角动量守恒。由于万有引力是有心力，这个结果当然是预料之中的。

由于天体在运动的过程中角动量守恒，因此，在动力学方程的第一个式子中，与角度有关的量可以用角动量写出来： $\ddot{r}=\frac{L^2}{m^2r^3}-\frac{GM}{r^2}$ 这个方程包含了未知变量对时间的二阶导数，是一个二阶微分方程。从数学上看，这个方程有一个特点：非导数项不显含时间，属于一类可以通过降阶实施求解的方程。为了求解这一类方程，在方程的两边乘以未知变量对时间的一阶导数，并将原来的二阶导数改写成对一阶导数再求一阶导数的形式： $\dot{r}\frac{{\rm d}\dot{r}}{{\rm d}t}=\left(\frac{L^2}{m^2r^3}-\frac{GM}{r^2}\right)\frac{{\rm d}r}{{\rm d}t}$ 现在，方程的两边都有一个 ${\rm d}t$ 因子，把它去掉，就得到一个以微分形式出现的方程： $\dot{r}{\rm d}\dot{r}=\left(\frac{L^2}{m^2r^3}-\frac{GM}{r^2}\right){\rm d}r$ 两边求不定积分，并将两个积分常数合并，得到 $\frac{1}{2}\dot{r}^2+\frac{L^2}{2m^2r^2}-\frac{GM}{r}=C$ 观察这个经过积分后的等式不难发现，只要将整个式子乘以天体的质量，左边第一项就是径向动能，第三项是引力势能，而第二项则是角向动能的变形。三项加起来正好是总能量，它在天体的运动过程中保持不变，这正是之前通过定性分析得出的结论： $E=\frac{1}{2}m\dot{r}^2+\frac{L^2}{2mr^2}-\frac{GMm}{r}$

有了能量守恒方程和角动量守恒方程这两个动力学微分方程，就可以求解天体的运动轨迹，这是一个纯粹的数学问题了。

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