天体运动中的角动量
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2024-08-26 11:12
广东
在天体的运动过程中，如果只考虑太阳的万有引力，天体的角动量和总能量保持不变。角动量守恒定律最引人入胜的例子，莫过于天体的运动问题。一个天体在绕太阳运动时，太阳对它的万有引力要比其他天体对它的万有引力强得多。由于这个原因，可以忽略其他天体的影响，把所研究的天体看作近似地只受太阳的万有引力的作用。
在讨论基本相互作用时曾经写下牛顿的万有引力定律：(公式有误多了因子4兀，成文后无法修改)
从万有引力的数学表达式可以判断：一个物体，不管在何时何处以何种状态运动，它所受的万有引力永远指向对它施力的那个物体的中心，这意味着万有引力是有心力。由于这个原因，在研究天体绕太阳运动的问题中，往往取静止的太阳的中心作为参考点，这个参考点也是太阳对所研究的天体施加的万有引力的力心。当然，实际的情况是，太阳并不是静止不动的，而是绕着太阳系的质心转动。不过，相较于太阳与天体之间巨大的距离，如果要求的计算精度不高，太阳与质心的距离可以忽略不计，把太阳看作静止不动是一个很好的近似。既然万有引力是有心力，那么，当选择太阳的中心为参考点时，天体所受的万有引力对这个参考点的力矩就恒等于零。于是，天体对该参考点的角动量就是一个常矢量，即天体在运动的过程中角动量守恒。由于角动量是一个常矢量，因此，在天体运动的过程中，角动量的指向永远不变，这意味着位矢与速度所在的平面也永远不变。于是马上可以判断，天体绕太阳运动的轨道在一个与角动量垂直的平面上，这是一个平面运动。由于这个原因，以太阳的中心为原点，在轨道平面上取平面极坐标系是方便的。利用平面极坐标系，可以将天体的位矢和速度写成分量的形式： 其中 是径向单位矢量，而 则与径向单位矢量垂直，被称为角向单位矢量，这两个单位矢量按照 的顺序构成一个瞬时的直角坐标系。在讨论圆周运动的问题中，曾经引入过平面极坐标系的概念。在那里，我们把现在的角向单位矢量写成切向单位矢量。对于圆周运动而言，角向单位矢量和切向单位矢量是重合的。由于速度只有切向分量，因此，在当时，写成切向单位矢量会更便于理解。但是，对于一般的曲线运动，这两个单位矢量不再重合，切向单位矢量不一定与径向单位矢量垂直。与径向单位矢量垂直的是角向单位矢量，两个单位矢量构成平面极坐标系的两个独立的单位矢量。
有了位矢和速度的解析表达式，就可以求出角动量的解析表达式。在讨论有心力和天体运动的问题时，大家习惯用 表示角动量。由于这个原因，我们遵循这个习惯，以便与大多数教科书或者相关的文献保持一致： 其中 是与轨道平面垂直并沿角动量方向的单位矢量。
万有引力不仅是有心力，还是保守力。因此，在天体运动的过程中，总能量保持不变。总能量由动能加上势能组成： 式中 是太阳的质量， 是所研究的天体的质量。把速度的解析表达式代入上式得到： 由于角动量守恒，它的数值是一个常数。利用这个性质，将总能量中与角度有关的参数消去，就得到一个纯粹与距离有关的能量表达式： 其中 是角动量的数值，是一个常数。
观察上述能量表达式不难发现，它与一个一维运动的总能量的表达式很相似，其中非导数部分类似于一维运动的势能，称之为径向运动的有效势能。在有效势能中，第二项正是天体的引力势能，而第一项则被称为离心势能。
