角动量
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教育
2024-08-09 09:38
广东
一个运动粒子的位矢与动量的矢量积被定义为该粒子对所选参考点的角动量。![]()
在开始讨论动力学问题的时候，我们曾经讲到，一个不受外力作用的运动粒子，或者说，一个在空间中运动的自由粒子，将作匀速直线运动，它的运动轨迹是一条直线。
取沿粒子运动的轨迹为坐标轴，坐标轴上任意点为原点，沿粒子的运动方向为坐标轴的正方向，如下左图所示。当坐标轴做这样的选择时，粒子在任意时刻的位矢必定与轨迹、坐标轴和位移重合。
在粒子的运动轨迹上取一段路程 ，该粒子走过这段路程需要的时间为 。由于我们考虑的粒子在作匀速直线运动，因此，无论将这一段路程的起点取在轨迹的哪一点上，其长度都是一样的，比如说 。这就是说，粒子在相同的时间间隔内走过相等的路程，这一点当然在我们的预料之中。![]()
接下来，让我们将坐标轴向下平移一段距离 ，如上右图所示。在把坐标轴做了这样的改变后，原先与运动轨迹、坐标轴和位移重合的位矢就错开来了，导致上面那段路径的两个端点的位矢与位移形成一个三角形。我们想知道，由位移和两个位矢所围的三角形的面积会如何变化。
仔细观察以 和 为底的两个三角形，不难发现，它们有共同的高 。由此可以立刻断定：不同时期的两个三角形的面积相等，这个结论对任意两个时间间隔相等的时期均适用。于是，一个在空间中运动的自由粒子，在运动过程的不同时期，它的位矢在相同的时间间隔内扫过相等的面积，或者说，位矢在单位时间内扫过的面积是一个不变量。
面积是一个几何量，它在力学中对应一个什么物理量，这是一个令人感兴趣的问题。为了得到这个问题的答案，让我们从计算三角形的面积开始：
在这个式子中，绝对值符号内的量已经有了关于粒子的空间位置信息的量，再乘上该粒子的惯性质量，除以粒子走过这段路程所经历的时间，并令所考虑的时间间隔趋于零，就能够得到一个关于该粒子在运动过程中的动力学量。我们用符号 标记这个物理量，称之为该粒子相对于坐标原点的角动量：于是，前面关于在匀速直线运动中位矢扫过的面积守恒的规律，就可以用动力学的语言重新表述为：一个在空间中运动的自由粒子，相对于参考点的角动量在运动的过程中保持不变。不难验证，按照上述方式定义的角动量，在粒子作匀速直线运动的过程中不随时间改变：
粒子作匀速直线运动，它的动量是一个常矢量，求导数的第二项自然等于零；求导数的第一项是粒子的速度与自身作矢量积，也等于零。我们从单个粒子作匀速直线运动出发，定义了一个在运动过程中保持不变的物理量。可以将这样定义出来的物理量推广到一般情形，考虑一个粒子受力运动的过程。如果对这样一个运动过程仍然按照上述方式定义粒子的角动量，那么，它对时间的一阶导数
有两种情况会使得上述导数等于零：第一种情况是，粒子受到的合外力等于零，这正是刚才一直在讨论的匀速直线运动；第二种情况是，粒子受到的合外力始终沿着位矢的方向，把具有这种特性的力称为有心力，有些教科书也称之为中心力。有心力具有这样的特点：无论粒子位于何处，它所受的有心力必定指向空间中一个共同点，这个点被称为该有心力的力心。于是，当一个粒子受有心力作用而运动时，该粒子对这个有心力的力心的角动量将保持不变。
