角动量的变换关系
学术
教育
2024-08-16 14:54
广东
在所有惯性参照系中，以及在质心参照系中，角动量定理和角动量守恒定律均成立，并且取相同的数学形式。![]()
大家知道，当我们在不同的参照系中讨论粒子的运动时，粒子的各种运动学量，比如说位矢、速度和加速度，是不一样的。但是，不同参照系中的运动学量之间满足明确的变换关系。这种情况导致，凡是与运动学量有关的物理量，在不同的参照系中的度量也满足相应的变换关系。比如我们已经讨论过的动量变换关系和动能变换关系。同样地，角动量也与位矢和速度等运动学量有关，因此，在不同的参照系中对角动量的量度结果也应该满足明确的变换关系。
假设有一个相对于实验室参照系 以速度 运动的参照系 ，一个粒子系统中各个粒子的运动学量在这两个参照系之间有如下变换关系：
将运动学量的变换关系用到力矩的表达式中，得到力矩在两个参照系之间的变换关系： 接下来考虑角动量的变换关系。将上述运动学量的变换关系用到实验室参照系的角动量表达式中，得到角动量在两个参照系之间的变换关系：
在上述关系式中， 是粒子系统的总质量， 是系统在参照系 中的总动量， 是系统在 中相对于 的原点的角动量，而 则是在 中测得的系统质心的位矢。显然，在一般情况下，角动量及其一阶时间导数的变换关系相当复杂。对于参照系的变换问题，通常讨论得比较多的有两种情况：惯性参照系与质心参照系之间的变换和惯性参照系之间的变换。
于是，角动量的变换关系变得简单了许多： 根据这个变换关系，在实验室参照系中，一个粒子系统对原点的角动量由两部分组成：系统中各成员粒子对质心的总角动量与质量集中在质心上作为一个整体对原点的角动量，通常将这两部分分别称为固有角动量和轨道角动量。对角动量的上述变换关系的两边取时间的一阶导数：最后一项是由质心运动定理带来的结果。对于质心参照系，力矩的变换关系则变成 其中 是在质心参照系中各成员粒子所受外力对质心的合力矩。在实验室参照系中，用角动量定理把角动量与力矩联系起来，得到该定理在质心参照系 中的表述形式：
结果发现，在质心参照系中，角动量对时间的一阶导数与外力的合力矩之间的关系，与实验室参照系中相应的关系相同。由质心运动定理可知，当一个粒子系统所受的合外力不等于零时，质心系是一个有加速度的参照系。因此，在质心系中观测，粒子系统中的成员粒子都要受惯性力的作用。尽管如此，惯性力的存在并不影响角动量的变化所遵守的规律。如果系统的外力的合力矩等于零，即使在质心系中观测，角动量仍然是不变的。
如果考虑的是惯性参照系之间的变换，则参照系之间的相对速度是一个常矢量。在这种情况下，虽然角动量的变换形式没有改变，仍然是复杂的，但是，角动量对时间的一阶导数的变换关系却简单得多：
结合外力矩的变换关系得到，角动量定理在所有惯性参照系中具有相同的形式： 以上的讨论告诉我们，在所有惯性参照系中，以及在质心参照系中，角动量定理和角动量守恒定律均成立，并且取相同的数学形式： 角动量和力矩都是相对于所考虑的参照系的原点而确定的。
