平面极坐标系
学术
教育
2024-08-23 09:11
广东
在许多问题中，选择平面极坐标系会使问题的表述更加简洁。到目前为止，只要涉及到坐标系的选择，我们基本上局限在直角坐标系中讨论问题。不过，在许多问题中，选择非直角坐标系会使问题的表述更加简洁。在讨论圆周运动的问题中就提供了这样的范例，在那里，我们分别使用平面直角坐标系和平面极坐标系来讨论圆周运动。在平面直角坐标系的基础上，引入两个单位矢量，就可以建立平面极坐标系。第一个单位矢量是我们已经熟悉的径向单位矢量 ，它从原点指向所研究的空间点。假定所研究的空间点距原点的距离是 ，则这个空间点的位矢 ， 与 轴的夹角用 标记；第二个单位矢量是角向单位矢量 ，它由径向单位矢量按右手规则转过一个直角得到：右手四指并拢，指向 方向，掌心所指示的方向就是 的方向。平面极坐标系的单位矢量与直角坐标系的单位矢量不一样，它们并不是固定在参考点上的，而是随所研究的空间点发生改变。仔细观察这两个坐标系就会发现，它们的原点重合，在空间中的每一点，平面极坐标系的两个单位矢量的双向延长线构成一个瞬时直角坐标系，它们的方向对直角坐标系的单位矢量转过 角。这种情形与坐标系的旋转变换非常相似，只要做对应 和 ，就完全可以套用旋转变换的公式，得到两套单位矢量之间的变换关系：与旋转变换的差别在于，旋转变换的旋转角是一个确定的角，而变换到极坐标系的旋转角则随所研究的空间点而改变。在建立平面极坐标系时，我们引入了一个新的符号：角向单位矢量 ，其实，这只不过是讨论圆周运动时用到的切向单位矢量 的拓展。在讨论圆周运动时，这两个单位矢量是重合的，为了迎合入门者的思维习惯，在那里使用了大家熟悉的、更容易接受的概念。但是，在许多问题中，这两个单位矢量并不重合，这种情况在讨论行星运动的问题中就会遇到。由于平面极坐标系的两个单位矢量随所研究的空间点而改变，因此，在研究粒子的运动时，对各种物理量求导数就会导致对这两个单位矢量求导数。在讨论圆周运动的问题中，我们已经分析过对这样的单位矢量求导数的方法，可以直接借用过来，得到的结果是：这个结果也可以通过对单位矢量的变换关系式的两边求导数直接得到。当粒子在空间中运动时，直角坐标系的单位矢量是固定的，角度则随时间改变。利用单位矢量的导数公式，不难求出速度在平面极坐标系中的解析表达式：公式中 是速度的径向分量，而 则是速度的角向分量。有了平面极坐标系，一个很自然的问题就被提出来了：一个物理量在直角坐标系和极坐标系中的表述形式有何关系呢？先讨论位置矢量的变换。假定在平面直角坐标系中用 标记空间中某一点的位置矢量，在平面极坐标系中，这个位置矢量则用 标记。显然，不管是哪一种类型的坐标系，只要原点重合，空间中任意一点的位置矢量就不会随所使用的坐标系而改变。因此，位置矢量在这两种坐标系之间的变换必定满足 。由于这个原因，无论用哪一种坐标系，位置矢量统一用 标记。在直角坐标系中， ，在极坐标系中， ， 与 轴的夹角用 标记。简单观察就能够得出，几个分量之间满足以下变换关系：既然 和 构成一个瞬时直角坐标系，对任意一个具有矢量性质的物理量，只要做对应 和 ，在直角坐标系与极坐标系之间的变换就可以直接套用旋转变换的公式：
