电流元激发的磁矢势

学术教育 2024-10-22 15:54 湖北

利用磁矢势的定义式计算一段无穷短的电流元在空间中激发的磁矢势。

我们利用磁通连续定理导出了磁矢势这个重要的物理量，它按照下面的公式定义：

$\begin{equation} \underset{S}\iint\vec{B}\cdot{\rm d}\vec{S}=\underset{L}\oint\vec{A}\cdot{\rm d}\vec{l} \end{equation}$

利用这个定义式，可以计算任意电流系统在空间中激发的磁矢势。当然，一个任意的电流系统是由电流元组成的。所以，让我们从一段电流元开始，讨论如何计算一个电流系统激发的磁矢势。

考虑一段电流元

I{\rm d}\vec{l}

，我们讨论由这段电流元激发的磁矢势。以电流元所在的位置为原点，电流元的指向为轴建立柱坐标系。设想我们想要知道空间中

P

点的磁矢势，为了讨论方便，假定电流元和

P

点所在的平面就在我们的纸面上，如下左图所示。

在纸面上过

P

点取一条短边为无穷短的狭长的矩形闭合路径，闭合路径的长边与电流元的指向垂直，短边则沿着电流元的指向，其中一条短边过

P

点，另一条短边远离电流元至无穷远，如上右图所示。沿着这条闭合路径对磁矢势作环路积分：

\begin{equation}\notag \underset{L}\oint\vec{A}\cdot{\rm d}\vec{l}=\sum_{i=1}^4\underset{L_i}\int\vec{A}\cdot{\rm d}\vec{l} \end{equation}

取无穷远为磁矢势的零点，则沿

L_3

的积分等于零；由于狭长矩形路径的短边无穷短，因此，两条长边实际上是一条直线的上岸和下岸。当沿两条长边积分时，被积函数相等，积分方向相反，积分结果相互抵消。这样，沿

L_2

的积分和沿

L_4

的积分之和就等于零；由于短边无穷短，因此，沿

L_1

的积分最终就以微分的形式出现。于是

\begin{equation}\tag 2 \underset{L}\oint\vec{A}\cdot{\rm d}\vec{l}=\underset{L_1}\int\vec{A}\cdot{\rm d}\vec{l}=\vec{A}\cdot{\rm d}\vec{s} \end{equation}

另一方面，根据毕奥-萨伐尔定律，所考虑的电流元在空间中激发的磁感应强度

\begin{align}\notag \vec{B}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I{\rm d}\vec{l}\times\vec{r}}{r^3} \\\ &=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\sin\theta{\rm d}l}{r^2}\hat{k}\notag \end{align}

其中

\hat{k}

是垂直于纸面向外的单位矢量。于是，通过矩形狭长路径所围表面的磁通量

\begin{align}\notag \Phi&=\iint\vec{B}\cdot{\rm d}\vec{S} \\\ &=\frac{\mu_0I{\rm d}l{\rm d}s}{4\pi}\hspace{-0.5em}\underset{\hspace{-2em}r_{\scriptsize P}}{\overset{\infty}{\int}}\hspace{-0.5em}\frac{\sin\theta}{r^2}{\rm d}\rho\notag \end{align}

其中

{\rm d}S={\rm d}\rho{\rm d}s

，已经利用了矩形的短边是无穷短这个条件，在矩形内沿短边方向的磁感应强度近似不变。根据上右图，

\begin{align}\notag z_{\scriptsize P}&=r\cos\theta\ ,\ \rho=z_{\scriptsize P}\tan\theta \\\ {\rm d}\rho&=\frac{z_{\scriptsize P}}{\cos^2\theta}{\rm d}\theta\notag \end{align}

由此可以算出磁通量表达式中的积分：

\begin{align}\notag \ \underset{\hspace{-2em}r_{\scriptsize P}}{\overset{\infty}{\int}}\hspace{-0.5em}\frac{\sin\theta}{r^2}&{\rm d}\rho=\frac{1}{z_{\scriptsize P}}\underset{\hspace{-2em}\theta_{\scriptsize P}}{\overset{\frac{\pi}{2}}{\int}}\hspace{-0.5em}\sin\theta{\rm d}\theta \\\ &=\frac{\cos\theta_{\scriptsize P}}{z_{\scriptsize P}}=\frac{1}{r_{\scriptsize P}}\notag \end{align}

这就得到了通过矩形狭长路径所围表面的磁通量：

\begin{equation}\tag 3 \Phi=\frac{\mu_0I{\rm d}l{\rm d}s}{4\pi r_{\scriptsize P}} \end{equation}

根据磁矢势的定义式 (1) 式，由 (2) 式和 (3) 式给出的结果相等：

\begin{equation}\notag \frac{\mu_0I{\rm d}l{\rm d}s}{4\pi r_{\scriptsize P}}=\vec{A}\cdot{\rm d}\vec{s} \end{equation}

在磁矢势中，对闭合路径积分没有贡献的部分，不影响通过该积分路径所围表面的磁通量。这意味着，在考虑磁场和磁通量时，可以认为这些部分不存在，磁矢势只包含对磁通量有贡献的部分。于是，在电流元激发的磁场中，可以认为磁矢势只有沿电流元方向的分量。这样，我们就找到了一段电流元激发的磁矢势的一个表达式：

\begin{equation}\notag \vec{A}=\frac{\mu_0I{\rm d}\vec{l}}{4\pi r_{\scriptsize P}} \end{equation}

之所以说 “一个” 表达式，原因是：在这个表达式中，可以加上任意对积分没有贡献的项，却不影响我们所研究的磁场的性质。

一段电流元不可能构成一个稳定的电流系统，电流元仅仅是电流系统的一个无穷小部分。由于这个原因，它激发的磁矢势也仅仅是整个电流系统激发的磁矢势的一个无穷小部分。在上面的推导过程中，我们为了书写简便，把反映 “无穷小部分” 的微分符号省略了。为了真实地反映这个 “无穷小部分”，一段电流元在空间中激发的磁矢势应该写成这样：

\begin{equation}\notag {\rm d}\vec{A}=\frac{\mu_0I{\rm d}\vec{l}}{4\pi r} \end{equation}

其中已经考虑到

P

点的任意性，把标记特定点的标记符号

P

去掉了。

有了一段电流元激发的磁矢势，就可以通过对整个电流系统求积分，得到这个电流系统在空间中激发的磁矢势。

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