直电流激发的磁矢势

学术教育 2024-11-11 12:04 广东

用两种不同的方法分别求解有限长和无限长直电流激发的磁矢势的空间分布。

在上一个问题中，我们利用磁矢势的定义式，得到了一段无穷短的电流元激发的磁矢势的空间分布。在这个基础上，可以通过叠加 (求积分) 的方法，求出一个电流系统激发的磁矢势。

最简单的一种情况是直电流激发的磁矢势：

$\begin{equation} \vec{A}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int\frac{{\rm d}\vec{l}}{r}=\hat{k}\frac{\mu_0I}{4\pi}\int\frac{{\rm d}z}{r} \end{equation}$

在上述等式中，

\hat{k}

是沿直电流指向的单位矢量，积分遍历整根直电流。

为了计算 (1) 式中的积分，以所研究的空间点 $P$ 点到直电流的垂足为原点，直电流的指向为轴建立柱坐标系。为了讨论方便，假定 $P$ 点与直电流所在的平面就在纸面上，如下左图显示。在图中，以 $PO$ 连线为基线，逆时针方向为角度的正向。按照这样的符号体系，在 (1) 式中，各个量之间有如下关系： $\begin{align}\notag z&=\rho\tan\theta\ ,\ \rho=r\cos\theta \\\ {\rm d}z&=\frac{\rho}{\cos^2\theta}{\rm d}\theta=\frac{r}{\cos\theta}{\rm d}\theta\notag \end{align}$ 于是，可以算出 (1) 式中最右边的积分： $\begin{equation}\notag \int\frac{{\rm d}z}{r}=\int\frac{{\rm d}\theta}{\cos\theta}=\ln(\tan\theta+\sec\theta) \end{equation}$ 积分结果是通过查不定积分表得出的。

假定电流的始端和末端对应的角度是 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ ，把这个上下限代入上述不定积分的结果中，得到整根直电流激发的磁矢势的空间分布：

$\begin{equation}\tag2 \vec{A}=\hat{k}\frac{\mu_0I}{4\pi}\ln\frac{\tan\theta_2+\sec\theta_2}{\tan\theta_1+\sec\theta_1} \end{equation}$

这就是一根有限长直电流在空间中激发的磁矢势。能否将这个结果推广到一根无限长的直电流中呢？答案是显而易见的：不能。对于一根无限长的直电流，

\begin{equation}\notag \theta_1\rightarrow-\frac{\pi}{2}\ ,\ \theta_2\rightarrow+\frac{\pi}{2} \end{equation}

上述 (2) 式中的对数变成一个不定式，并且在实数域中没有意义。为什么会这样呢？一个更深层的原因在《带电细杆的电势》中已经做过分析。由于直电流一直延伸到无穷远，因此，无穷远肯定不能作为整根电流中各个电流元所激发的磁矢势的公共零点，这样，积分式 (1) 式就没有物理意义了。当然，电流所处的位置也不能作为公共零点。这意味着，对一根无限长的直电流，要求它在空间中激发的磁矢势，必须使用磁矢势的定义式实施计算。

仍然像有限长直电流的问题一样建立柱坐标系，并像《电流元激发的磁矢势》那样，过想要求磁矢势的点取一个矩形环路，如上右图所示。不同的是，在无限长直电流的问题中，由于电流为无限长，物理量沿轴向有平移对称性，当空间点沿轴向移动时，磁矢势保持不变，即 $\vec{A}$ 与 $z$ 无关；又由于轴对称性， $\vec{A}$ 与 $\varphi$ 也无关。于是， $\vec{A}$ 只是 $\rho$ 的函数。由于上述原因，所取的矩形环路无需是狭长形的。还有一点不同的是，由于无穷远不是磁矢势的零点，矩形环路不能延伸到无穷远。

沿所取的矩形环路对磁矢势做环路积分： $\begin{equation}\notag \underset{L}\oint\vec{A}\cdot{\rm d}\vec{l}=\sum_{i=1}^4\underset{L_i}\int\vec{A}\cdot{\rm d}\vec{l} \end{equation}$ 当沿两条与电流指向垂直的边积分时，在 $\rho$ 相等的点，被积函数相等，积分方向相反，积分的结果相互抵消。于是，沿 $L_2$ 的积分和沿 $L_4$ 的积分之和就等于零；当沿两条与电流指向平行的边积分时，被积函数保持不变，因此，沿 $L_1$ 的积分和沿 $L_3$ 的积分的结果就是显而易见的了。假定沿轴向的两条边的长度为 $s$ ，则积分结果为：

$\begin{align}\notag \underset{L}\oint\vec{A}\cdot{\rm d}\vec{l}&=\underset{L_1}\int\vec{A}\cdot{\rm d}\vec{l}+\underset{L_3}\int\vec{A}\cdot{\rm d}\vec{l} \\\ &=s\left(\vec{A}_1-\vec{A}_3\right)\cdot\hat{k}\tag3 \end{align}$

另一方面，根据毕奥-萨伐尔定律，所考虑的直电流在空间中激发的磁感应强度 $\begin{equation}\notag \vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi\rho}\hat{\varphi} \end{equation}$ 其中 $\hat{\varphi}$ 是垂直于纸面向外的单位矢量。于是，通过矩形路径所围表面的磁通量

公式有误：积分上限应该是p3 $\begin{align}\notag \Phi&=\iint\vec{B}\cdot{\rm d}\vec{S} \\\ &=\frac{\mu_0Is}{2\pi}\hspace{-0.5em}\underset{\hspace{-2em}\rho_1}{\overset{\infty}{\int}}\hspace{-0.5em}\frac{1}{\rho}{\rm d}\rho\notag \\\ &=\frac{\mu_0Is}{2\pi}\ln\frac{\rho_3}{\rho_1}\tag4 \end{align}$

其中

{\rm d}\vec{S}=\hat{\varphi}s{\rm d}\rho

，已经利用了磁感应强度的数值只与

\rho

有关这个事实。

根据磁矢势的定义式，由 (3) 式和 (4) 式给出的结果相等： $\begin{equation}\notag \frac{\mu_0Is}{2\pi}\ln\frac{\rho_3}{\rho_1}=s\left(\vec{A}_1-\vec{A}_3\right)\cdot\hat{k} \end{equation}$ 如果只考虑磁矢势中对磁通量有贡献的部分，则可以认为它只有沿电流指向的分量，具体的分析可以参考《电流元激发的磁矢势》。于是，由上述等式马上可以得到： $\begin{equation}\notag \vec{A}_1-\vec{A}_3=\hat{k}\frac{\mu_0I}{2\pi}\ln\frac{\rho_3}{\rho_1} \end{equation}$ 如果令 $\rho=\rho_3\doteq\rho_0$ 的柱面为磁矢势的零点，并将标记场点的下标“1”略去，则上述表达式简化为 $\begin{equation}\notag \vec{A}=\hat{k}\frac{\mu_0I}{2\pi}\ln\frac{\rho_0}{\rho} \end{equation}$ 如果令 $\rho_0=1$ ，即以 $\rho_0$ 为长度的计量单位，则磁矢势的表达式可以被进一步简化成 $\begin{equation}\notag \vec{A}=-\hat{k}\frac{\mu_0I}{2\pi}\ln\rho \end{equation}$ 这样，我们找到了无限长直电流激发的磁矢势的一个表达式。

长按二维码，关注公众号

你可能感兴趣的话题：

看过此文的人还看了：

http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=Mzg2NDAxMzY1NQ==&mid=2247500545&idx=1&sn=1a384009f30ec5cec57d270e1de09149

cosmos2062

物理学、宇宙学、天文学以及相关领域

最新文章

银河帝国的传奇故事：太空城中的谋杀案

均匀球壳的引力

直电流激发的磁矢势

引力质量与惯性质量

电流元激发的磁矢势

引力系统的位力定理

永远的小王子：地球之旅

磁矢势

行星的运动轨道

银河帝国的传奇故事：机器人市长

永远的小王子：宇宙之旅

永远的小王子

银河帝国的传奇故事：恒星际飞行

磁通连续定理

万有引力定律

银河帝国的传奇故事：失踪的机器人

载流平面线圈

我们的交响曲

银河帝国的传奇故事：透视心灵的机器人

黄山归来不看岳：初识黄山松

卢瑟福散射

银河帝国的传奇故事：多重机器人

求解轨道微分方程

天体运动的力学方程

银河帝国的传奇故事：主宰的先知

天体的运动轨道

天体运动中的能量

银河帝国的传奇故事：采矿机器人

天体运动中的角动量

平面极坐标系

银河帝国的传奇故事：机器保姆

非惯性系中的角动量

角动量的变换关系

银河帝国的传奇故事

角动量守恒定律

角动量

黄山归来不看岳：进山第一击

两体对心碰撞

动能变换关系

与世界伟人谈心

质心运动定理

多粒子系统的质心

质心参照系

气体粒子的自由度

田园交响曲

黄山归来不看岳：零距离接触

麦克斯韦—玻耳兹曼分布

复变函数级数

玻耳兹曼分布

复数级数

分类

时事

民生

政务

教育

文化

科技

财富

体娱

健康

情感

旅行

百科

职场

楼市

企业

乐活

学术

汽车

时尚

创业

美食

幽默

美体

文摘

原创标签

时事社会财经军事教育体育科技汽车科学房产搞笑综艺明星音乐动漫游戏时尚健康旅游美食生活摄影宠物职场育儿情感小说曲艺文化历史三农文学娱乐电影视频图片新闻宗教电视剧纪录片广告创意壁纸头像心灵鸡汤星座命理教育培训艺术文化金融财经健康医疗美妆时尚餐饮美食母婴育儿社会新闻工业农业时事政治星座占卜幽默笑话独立短篇连载作品文化历史科技互联网

发布位置

广东北京山东江苏河南浙江山西福建河北上海四川陕西湖南安徽湖北内蒙古江西云南广西甘肃辽宁黑龙江贵州新疆重庆吉林天津海南青海宁夏西藏香港澳门台湾美国加拿大澳大利亚日本新加坡英国西班牙新西兰韩国泰国法国德国意大利缅甸菲律宾马来西亚越南荷兰柬埔寨俄罗斯巴西智利卢森堡芬兰瑞典比利时瑞士土耳其斐济挪威朝鲜尼日利亚阿根廷匈牙利爱尔兰印度老挝葡萄牙乌克兰印度尼西亚哈萨克斯坦塔吉克斯坦希腊南非蒙古奥地利肯尼亚加纳丹麦津巴布韦埃及坦桑尼亚捷克阿联酋安哥拉