均匀球壳的引力
学术
教育
2024-11-15 11:10
广东
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万有引力定律讨论两个粒子之间的相互作用，这种粒子模型在许多场合下是行之有效的。然而，也会有许多场合，粒子模型并不是一种好的近似，甚至有一些场合，物体根本不可能被当作粒子看待。最典型也是最常见的情况是，地面上的物体受地球吸引力作用而运动。在这种情况下，尽管所研究的物体可以被当作粒子看待，但是，地球却是一个巨大无比的球体。由此看来，考虑非粒子模型的引力相互作用就显得很重要了。
先考虑一种简单的情况。设想有一个半径为 ，质量为 的均匀球壳，在离开球心 为 处，有一个质量为 的粒子。我们要计算这个均匀球壳对粒子 的吸引力。
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首先把球壳分割成无数片无穷小的小薄片，每一小薄片可以被看作一个粒子。考虑其中位于球面上 点附近的一小薄片，根据万有引力定律，这一小薄片对 的吸引力其中粒子 与小薄片 的距离 可以通过分析几何图形得到：于是，小薄片 对 的吸引力就可以表述成：由于对称性，对于球面上任意一点 ，总有关于 连线对称的一点 ，它附近的小薄片对 的吸引力与 对 的吸引力关于 连线对称，使得垂直于该连线的分量相互抵消。因此，任意一小薄片对 的吸引力，只需要考虑沿连线的分量：其中 连线与 连线的夹角满足如下关系：由此得到 对 的吸引力在 连线上的分量：
以 连线与球面的交点 为中心，弧长 为半径，在球面上作一条狭窄的环带，环带的宽度覆盖小薄片 ，对 的张角为 。从图中容易看出，环带的面积假定单位面积球壳的质量 (质量面密度) 为 ，则环带的总质量由于环带上每一小薄片对 的吸引力都具有与 相同的性质，因此，这条环带对 的吸引力就只有沿 连线上的分量，可以借用 的表达式，只需要将 改成 就可以了：
剩下的问题就是一个纯粹的数学问题了：对这条环带沿着整个球面积分，角度 从 开始，积分到 ，就得到整个球面对 的吸引力：为了求出上述积分，先做变量替换 ，将上述等式中的积分改写成如下形式：接着，将被积函数的分子写成一种 “更复杂的” 的形式：这样，被积函数被分解成两个明显容易积分的式子之和：定积分就很容易算出来了：不难算出，如果 在球面的外边， ，方括号内的结果等于 ；如果 在球面的里边， ，方括号内的结果等于 。
于是得到了一个均匀球壳对一个粒子的吸引力：式中 正是均匀球壳的总质量。
结果发现，当 处于球面的里边时，它不受任何引力的作用；当 处于球面的外边时，它受到的引力犹如球面的全部质量集中在球心。从万有引力这个视角上看，球面对它而言就好像一个粒子。
