角动量守恒定律
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2024-08-12 11:03
广东
一个粒子系统的角动量对时间求一阶导数等于它所受的外力的合力矩，如果外力的合力距等于零，则系统的角动量保持不变。我们从一个粒子作自由运动出发，引入了角动量的概念，并将这个概念推广到一般的运动，计算了角动量对时间的一阶导数：
在这个导数式中，等号的右边是运动粒子的位矢与其所受的力的矢量积，我们将这个乘积称为该粒子所受的力对参考点的力矩，用符号 标记。
不难将角动量的概念推广到由多个粒子组成的系统中。一个多粒子系统对某个参考点的角动量，等于系统内各个成员粒子对同一个参考点的角动量之和： 对总角动量求时间的一阶导数： 公式中 是第 个粒子所受合力的力矩。由于粒子所受的力被区分为内力和外力，因此，力矩也被区分为内力矩和外力矩。其中内力矩可以表示成 由于内力总是成对出现，等值反向，因此，内力矩可以进一步表示成 上述推导中对求和符号的运用，可以参考《内力做功的理论表述》一文中的说明。在推导的过程中，已经利用了两个粒子的相对位矢与它们之间的相互作用力平行这个特性。当两个矢量相互平行时，它们的矢量积等于零。于是，一个粒子系统的角动量对时间的一阶导数最终就只与外力矩有关： 我们把这条规律称为角动量定理。如果外力的合力距等于零，则系统的角动量保持不变。这条规律被称为角动量守恒定律。与动量守恒定律和能量守恒定律一样，角动量守恒定律也是大自然的一条具有普遍意义的基本规律。
利用角动量定理和角动量守恒可以解答一个有趣的问题。将一个轻质滑轮悬挂在天花板下，一根绳子跨过滑轮向下悬垂。在绳子的左边系上一台爬绳机，右边系上一块重物，两个物体静止在桌面上。开动爬绳机，我们想知道哪一个物体先到达天花板处。![]()
由于滑轮是轻质的，因此，它的质量可以被忽略。假设爬绳机的质量为 ，重物的质量为 。当爬绳机以速率 向上运动时，由于绳子的拉力，右边的重物也会同时以速率 向上运动。以静止的天花板为参照系，滑轮的转轴为参考点。在爬绳机和重物向上运动的过程中，忽略滑轮与绳子之间的摩擦力，系统所受的合力矩和它的总角动量分别为：
其中 是垂直于纸面向外的单位矢量。由于力矩和角动量的方向始终不变，因此，在接下来的分析中略去它们的方向，只取数值进行分析：开始时，爬绳机和重物都不动，系统的总角动量等于零。如果爬绳机与重物的质量相等，则系统所受的外力的合力矩等于零，角动量守恒。当两个物体向上运动时，角动量依旧等于零，因此，它们的速度相等，同时到达天花板处；如果两个物体的质量不相等，则合力矩不等于零。假设爬绳机的质量比较大，则合力距大于零。根据角动量定理，当两个物体向上运动时，总角动量就会大于零。于是， ，由此得到 ，重物先到达天花板处；对反过来的情况，可以做同样的分析。最终发现，质量较小的那个物体会先到达天花板处。
