玻耳兹曼分布
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2024-06-20 11:08
广东
在保守力场中，气体系统的粒子数密度随位置的分布被称为玻耳兹曼分布。
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在讨论麦克斯韦分布时，我们注意到，无论粒子是按速率分布还是按速度分布，在分布函数的指数因子中都有一个与粒子运动的微观动能有关的因子：
另一方面，麦克斯韦分布考虑的是气体系统在没有外力场的条件下的分布。显然，在没有外力场的条件下，粒子数在空间上的分布是均匀的。如果气体系统处于外力场中，一个自然的猜测是，分布函数中的指数因子应该包含反映粒子在外力场中的势能的因子：于是，当气体系统处于外力场中时，分布函数既与速度有关，也与位置有关，粒子数在位形空间上的分布将不再均匀：考虑重力场中一团气体，取垂直于地面向上为 轴的正向。在气体中取一个横截面垂直于 轴的扁盒状柱体，柱体的横截面积为 ，高度为 ，如下左图所示。当气体系统处于热平衡状态时，由于存在重力的作用，气体内部不同高度处的压强将不一样。假设扁盒状柱体的下表面的压强为 ，上表面的压强为 ，压力的这个差值将由柱体所受到的重力平衡：如果所讨论的气体是理想气体，则在热平衡状态下有 ，假设在热平衡状态下温度不随高度而改变，则有其中 是 处的粒子数密度。将这个结果代入压强公式中，得到气体系统的压强随高度的变化规律：由粒子的数密度随高度的变化规律可以得到粒子数随高度 (在位形空间中) 分布的分布函数。仍然考虑上面给出的扁盒状柱体，根据粒子数密度的表达式，落在这个柱体内的粒子的数目：假设所考虑的气体系统的总粒子数为 ，则一个气体粒子位于柱体内的概率其中 。由此得到粒子位于高度为 处单位体积内的概率如果所考虑的气体系统是地球的大气层，以地球表面单位面积上方柱体为研究对象， 的取值范围是 ，如上中图所示。由归一化条件可以求得归一化的常数因子 ，由此得到大气层中粒子数随高度分布的分布函数：分布函数中指数上的因子 正是气体粒子在重力场中的重力势能。在实用中，位形空间中的分布更多地使用 ，它与 通过 联系起来。上述讨论建立在这样一个假设的基础上：当气体系统处于热平衡状态时，整个系统具有相同的温度。把这个假设应用到地球的大气层其实并不正确，由于太阳的能量输入以及地面的反射作用等诸多因素的影响，地球大气层的温度并不均匀。实测表明，在不同的高度处，大气的温度有几十度之差，这个差额致使实际的粒子数密度和压强随高度的分布与理论预言有微小的差别，在离地面大约 5 千米到 30 千米的高度处有较大的偏离，如上右图所示。
根据前面的猜测，不难将重力场中粒子的数密度随高度的分布推广到任意势场：当气体系统在任意保守力场中达到热平衡时，粒子的数密度作为位置的函数必定具有如下形式：其中 是粒子在势能的零点处的数密度。上述粒子数密度的分布规律被称为玻耳兹曼密度分布律，简称玻耳兹曼分布。
