天体运动中的能量
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2024-08-30 11:06
广东
把天体运动中的总能量写成类似于一维运动的总能量的形式，借助一维运动的方法，能够对天体运动轨道的某些性质做出判断。在《天体运动的角动量》中，我们从能量守恒出发，利用角动量守恒的性质，引入离心势能和有效势能的概念，写下了天体在运动过程中的总能量：(公式有误，径向距离的时间导数要有平方)它类似于一维运动的总能量的表达式，可以借助在《一维运动的势能》中讲述的方法，只需要考虑径向运动，就能够对天体运动轨道的某些性质做出判断。
如下左图所示，在能量与径向距离的关系曲线图中，横轴下方的虚线是引力势能曲线，横轴上方的虚线则是离心势能曲线，两条曲线的合成结果就是有效势能曲线，在图中用实线表示。一个有确定质量的天体，其引力势能曲线是确定的，但是角动量可以取不同的数值，这导致离心势能和有效势能也可以有不同的形状，具体取决于角动量的数值。
由于天体在运动过程中能量守恒，因此，它的总能量有一个确定的数值，在图中用一条平行于横轴的直线表示。在图中，代表总能量的水平线与有效势能曲线可能会有交点，这些交点揭示出对径向距离的限制。
先来看在角动量确定的条件下，天体的能量不同，运动轨道会有什么特征。如果天体的总能量大于零或者等于零，水平线与有效势能曲线就只在接近力心处有一个交点，在这里，径向距离达到最小值。在另一边，一直延伸到无穷远都没有交点，这显示，速度的径向分量恒大于零，轨道是开放的。
在一般情况下，总能量小于零，但是大于某个特定的数值 ，水平线与有效势能曲线会有两个交点。在两个交点之间的位置处，有效势能小于总能量，径向速率不等于零，径向距离可以在这个区间内变化。在交点处，有效势能等于总能量，速度的径向分量等于零。在这两个位置处，轨道的切向与径向垂直。
由于没有任何因素会使速度发生突变，天体运动的速度应该是连续变化的，再考虑到空间的对称带来运动的对称，可以初步断定，符合上述条件的天体应该围绕太阳做椭圆轨道运动。行星就是属于以这种轨道运动的典型天体，两个交点正是行星距太阳最近和最远的点，分别被称为近日点和远日点。当然，行星绕太阳运动的轨道到底是一条怎样的曲线，还需要通过严格的数学推导才能获得，那是后话。
在总能量表达式中，令速度的径向分量等于零，得到求解交点的径向距离的方程：这个方程不难求解，它的两个根是：如果天体的总能量等于 ，则水平线与有效势能曲线相切于一个点，这意味着径向距离只能取一个不变的数值，这个数值可以从交点的径向距离方程出现重根的条件得到：在这个能量条件下，运动轨道必定是一个圆周。这个结论也印证了前面关于椭圆轨道的猜测，圆是椭圆的一个特例。另一方面，在这个能量条件下，总能量与有效势能相等，速度的径向分量恒等于零，只剩下角向分量，它与角动量和距离有关，而这两个量又是常量，这导致速度的角向分量也是一个常量：于是，当天体的总能量等于 时，它必定绕太阳作匀速圆周运动。对于更小的能量值，水平线总是在曲线之下，在空间中任何位置都得不到实的径向速率，而交点的径向距离方程也没有实根，运动不可能发生。 再来看在确定的总能量条件下，不同的角动量对轨道的影响，如上右图所示。回到交点的径向距离方程。径向距离是一个恒正的量，这意味着它的两个根必须是实根。这个条件显示，对于一个小于零的确定的总能量，角动量的数值有一个上限：在这个上限值的范围内， ，角动量的数值可以取任意值，径向距离方程都有两个实根，天体都能够绕太阳运动；如果角动量的数值取上述极限值，方程只有一个实根，天体的轨道是一个圆周，这其实就是刚刚讲到的 的情形。如果角动量的数值大于这个上限值， ，方程就没有实根，水平线与曲线没有交点，这意味着运动不可能发生。 把上面两种情况结合起来，可以得到天体绕太阳作闭合轨道运动的条件：其中等号对应于匀速圆周运动的条件。两个不等式是等价的，第一个式子用于在角动量确定的情况下对能量做出限制，第二个式子则用作反过来的限制。
