质心运动定理
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2024-07-29 13:37
广东
利用质点组的牛顿运动定律导出了多粒子系统的质心满足的运动规律。用质心运动定理讨论一根绳子的下落。
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我们已经知道，在实验室参照系中看， 动量中心系 (质心系) 的运动速度与系统的总动量成正比，与系统的总质量成反比。把这个关系改写成我们习惯的形式：在讨论粒子系统的总动量时曾经得到，一个系统的总动量的时间变化率只与合外力有关，这是质点组的牛顿运动定律。把这个规律用到以质心速度表述的系统的总动量中：
公式中的 是质心的加速度。这个等式显示：如果将系统的全部质量集中到质心上，并将所有外力平移到质心上，则这个合成的质量在合外力的作用下所做的运动正是质心的运动。由于这个原因，把上述等式称为质心运动定理。接下来讨论一个简单的例子：取一根长度为 、质量为 的软绳，将其垂直地悬挂在桌面的上方，绳子的下端点刚好与桌面接触。放开绳子的悬挂端，让其自由下落。假设绳子在下落的过程中桌面上方的部分不发生形变，求在任意时刻桌面对绳子的这个部分的作用力。把绳子看作一个由无数个紧密排列的粒子组成的质点组，可以用质心运动定理来求解这个问题。
既然要用质心运动定理求解问题，当然就要先求出任意时刻质心的位置。以地面为原点，取竖直方向为 轴，向上为坐标轴的正方向。假设在绳子下落过程中的某个时刻，仍然处于桌面上方的部分的长度为 ，将这一部分绳子无限分割成一小段一小段，每一小段的质量其中 是单位长度的绳子的质量，称为绳子的质量线密度。在精度不需要很高的要求下，一般的绳子的质量线密度是一个常数。其中 是整根绳子的质量，而积分则只对桌面以上的部分实施，想一想这是什么原因。由此得到质心的下落速度其中 是绳子在桌面部分的长度的变化速度，应该等于上端点的下落速度。由于绳子的运动部分不发生形变，因此，它的每一小段的速度是一样的，也都等于上端点的下落速度。另一方面，绳子是柔软的，这意味着它不受内力的作用，每一小段只受重力的作用，像一个自由落体一样运动。于是，每一小段的下落速度就可以根据自由落体定律算出：正如刚刚讲到，绳子的每一小段都像一个自由落体那样下落，因此必有 ，于是，质心的加速度有了质心的加速度，就可以利用质心运动定理将它与作用在绳子上的外力联系起来。整根绳子作为一个质点组，受到两个外力的作用：自身的重力 是已知的量，桌面对它的支承力 是待求的量。根据质心运动定理质心运动定理是对整个粒子系统而言的，因此，上面得到的支承力自然就是施加到整根绳子上的力。如果只需要求桌面上方剩余部分受到的作用力，则还要减去已经落到桌面上那部分绳子所受到的支承力。桌面部分的绳子处于静止状态，它所受到的支承力在数值上就等于它自身的重力的数值。于是，桌面对其上方部分的绳子施加的作用力
质心运动定理告诉我们，质心的运动方式只与合外力有关，内力没有任何物理效果。如果作用到一个系统中的合外力等于零，质心的加速度就等于零，质心系就是一个惯性系。如果合外力不等于零，质心系就是一个非惯性系，在质心系中看，每一个粒子都会受到一个惯性力的作用。
