求解轨道微分方程

学术教育 2024-09-09 10:13 广东

通过几个变量替换步骤，将动力学微分方程转化成简单的微分方程，并利用不定积分方法求解这个方程，得到天体运动的轨道方程。

通过对动力学微分方程做降阶处理后，我们得到了能量守恒方程，这是一个径向距离对时间的依赖关系的微分方程，可以直接求解，得到两者的函数关系。不过，这并不是研究天体运动时想要的结果。我们真正想要的是径向距离与极角的函数关系，有两条途径实现这个目标。

第一条途径是：先求解能量守恒方程，得到径向距离与时间的函数关系，将其代入角动量守恒方程中，求解出极角与时间的函数关系，再联合两个函数关系，将时间因子消去，就得到我们想要的结果。不过，这种处理方法比较繁琐；另一条途径是，先将能量守恒方程与角动量守恒方程联合起来，消去时间因子，得到反映径向距离与极角之间关系的微分方程，求解这个轨道微分方程，就可以得到轨道方程。显然，用这种方法处理问题显得更为简洁(不是简单)。

利用能量守恒方程将径向距离对时间的一阶导数明显地表示出来： $\dot{r}=\sqrt{\frac{2E}{m}-\frac{L^2}{m^2r^2}+\frac{2GM}{r}}$ 利用角动量的数值的表达式 $L=mr^2\dot{\theta}$ ，将时间的微分因子消去，将径向距离对时间的依赖关系改写成径向距离对极角的依赖关系： $\dot{r}=\frac{{\rm d}r}{{\rm d}\theta}\frac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t}=\frac{L}{mr^2}\frac{{\rm d}r}{{\rm d}\theta}$ 将这个改变了形式的导数与微分方程中开平方根内的式子做比较，不难发现，如果做以下变量替换： $s=\frac{L}{mr}\to\dot{r}=-\frac{{\rm d}s}{{\rm d}\theta}$ 微分方程的形式会变得较为简单： $\frac{{\rm d}s}{{\rm d}\theta}=-\sqrt{\frac{2E}{m}-s^2+\frac{2GMm}{L}s}$ 再做一次变量替换，并用一个字母来简记有关的常数组合： $\begin{align}\notag u&=s-a\ ,\ a=\frac{GMm}{L} \\\ b^2&=\left(\frac{GMm}{L}\right)^2+\frac{2E}{m}\notag \end{align}$ 反映径向距离与极角的函数关系的微分方程最终被改写成如下形式： $\frac{{\rm d}u}{{\rm d}\theta}=-\sqrt{b^2-u^2}$ 这是一个相当简单的微分方程，在讨论运动问题时，已经遇到过类似的方程，可以使用不定积分的方法进行求解： $\int\frac{{\rm d}u}{\sqrt{b^2-u^2}}=-\int{\rm d}\theta+C$ 为了求出等式左边的积分，最后一次做变量替换：(下面的公式有错，最后要加微分符号dx) $u=b\sin x\to {\rm d}u=b\cos x$ 由此得到了微分方程的求解结果： $x=C-\theta$ 把前面所做的几次变量替换逆着方向代回去，并将径向距离解出，得到它与极角的函数关系： $r=\frac{\frac{L^2}{GMm^2}}{1+\sqrt{1+\frac{2EL^2}{G^2M^2m^3}}\sin(C-\theta)}$ 至此，数学推导的任务已经完成。

让我们回到物理学中来，解决剩余的问题：如何确定积分中的任意积分常数？

在求解微分方程的过程中，其实并未明确选定平面极坐标系的参考方向。如果按照之前那样的规定，选取近日点为参考方向，则当极角为零时，径向距离将达到最小值。利用这个要求不难得出，不定积分中的任意积分常数 $C=\frac{\pi}{2}$ 。于是，径向距离与极角的函数关系变成： $r=\frac{\frac{L^2}{GMm^2}}{1+\sqrt{1+\frac{2EL^2}{G^2M^2m^3}}\cos\theta}$ 引入半正焦弦和偏心率两个概念，用来简记式子中的两处常数组合： $p=\frac{L^2}{GMm^2}\ ,\ \varepsilon=\sqrt{1+\frac{2EL^2}{G^2M^2m^3}}$ 得到了上述函数关系的极简形式： $r=\frac{p}{1+\varepsilon\cos\theta}$ 在《天体的运动轨道》中，曾经用另一种方法给出了上述形式的轨道方程，并讨论了偏心率与轨道形状之间的关系。现在，我们可以理解偏心率的物理本质了，它反映能量与角动量之间的关系。这件事情的细节就交给大家去讨论吧。

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