解二次方程，一般性分类有两种形式及解法：
. x^2=9 --> x=3,x=-3; (x+1)^2=9 --> x=2,x=-4; 配平方
. (x-1)(x-2) -->x=1,x=2; 因式分解。
当然，因式分解是配平方法的一种特殊形式（整数）,即当b^2-4abc是一个平方数时。
当一个二次方程不能用因式分解法解答时，可以使用配平方法，当然也可以把任何二次方程直接用配平方法解答，如果能记得求平方要公式，直接套入公式，所以配平方（平方根公式）也可以说是解二次方程的万能法。既然有万能法，为什么还要用因式分解法呢？相比较因式分解法，配平方的效率要低一些。
但有一个问题，因式分解法真的效率总是比本平方法要高吗？
得看情况，比如: 16X^2-34x-15=0。
除非是做了许多因式分解的练习，有了比较好的直觉，不然，当系数大一点时，因式分解没法凭直觉看一眼进行分解，而是需要一个一个组合地去尝试，16X^2-34x-15=0，有12种组合。
如何减少尝试的次数（组合数）呢？减少尝试的次数自然就会提高解答的速度。
另一个例子: 12x^2+17x+6=0,这个方程因式分解最多也需要尝试12次的乘加，看看这个方程: x^2+17x+72=0，x项的系数同前面的方程一样，但因为x^2系数为1，这样尝试的最多次数就减少为5次了，实际上，这个方程更容易凭直觉看出如何分解：8*9=72,8+9=17, 所以分解为: (x+8)(x+9)=0。
这样，就知道了: 17x=8x+9x.
还知道：8=2*4, 9=3*3
这样就得到了(4x+3)(3x+2)=0.
至此，因式分解完毕。
再看一个例子: 8X^2+2x-15=0. 由上面的例子可知: 8*(-15)=-120. -120=12*(-10),12+(-10)=2.
知道: -10=-5*2, 12=3*4 (提问: 为什么不是 12=2*6 ? )
这样就得到了: (4x-5)(2x+3)=0
至此，因式分解完毕。
上面的方法，还有2个问题，即有两次“凭直觉”。本来是想去除“凭直觉”，探索新的方法起因就是因为像“16X^2-34x-15=0”这样的方程凭直觉太难，而组合尝试的次数又太多。
可不可能完全去除“凭直觉”呢？
先用“16X^2-34x-15=0”(方程一) 做为例子。
1. 16*15=240， 先看方程：x^2-34x+240=0 (方和二)
2. 分解质因素，240=2*2*2*2*3*5
3. 尝试:
差值最大时的是2与120(差为118），差值最小时的是12与20(差为8)， 根据最大差值及最小差值，及实际上差值（34），来决定分解成哪两个因素。
可以是继续一点一点地缩小：
3*（-80）=-240，3+（-80）=-78
4*（-60）=-240，4+（-60）=-56
也可以观察-118和-34相差比较大，干脆跳跃着缩小，跳两步就是:
6* (-40) =-240，6+（-40）=-34 满足条件。
这样，既没有凭直觉，也加快了尝试的速度。
方程: x^2-34x+240=0 因式分解为: (x+6)(x-40)=0
4. 方程16X^2-34x-15=0 和 方程x^2-34x+240=0 只有x项的系数一样，x^2及常数项都不一样。
所以对(x+6)(x-40)=0要进行一些变换：
(1). 既然它的常数项是放大了16倍，如果要保持常数不变，则要缩小16倍
(2). ((x+6/a)(x-40/b)=0 , a*b是共需要缩小的倍数“16”，即a*b=16, a和b多少呢？又有3种组合，难道又要去一个一个组合去尝试？不用，因为要保证6/a及40/b为整数，把16分解质因素为2、2、2、2，a只能为2，所以b必然为8。
(3). 现在变换成(x+3)(x-5)=0，但是，变化后，常数项-15是ok了，但x项系数却变得不ok了，是什么原因呢？因为第一次变换后(x+6)(x-40)=0刚好满足了x项系数，但为了满足常数项进行了第二次变换“缩小常数项”，进而影响到了x项的系数（因为x项的系数是常数是相关的）。
(4). 观察步骤(2)，可以看出，6/2这里缩小了2倍，40/8这里缩小了8倍，所缩小的倍数分别把x的系数进行了相应的减少，如何在第(2)缩小常数项时，保住x项的系数呢？
(5). 可以扩大x^2的系数，因为从方程一到方程二，x^2系数缩小了共16倍，现在需要放大18倍. 进行变换：(c*x+3)(d*x-5)=0, 且c*d=16。那么c和d各是多少呢？又需要把3种组合尝试一遍吗？不需要，因式分解是交叉相乘，在第（2）步时，要交叉相乘的系数缩小了多少，各自对应的就需要放大多少，即: c对应40/8缩小的倍数"8"，d对应6/2缩小的倍数"2",所以 c=8,d=2。
(6). 最后变换为 (8x+3)(2x-5) = 0 .
最后总结如下：
1. 对任一可因式分解的方程 ax^2+bx+c=0 (方程一）, 可先分解 x^2+bx+ac=0 （方程二）.
对于 8X^2+2x-15=0, ac=8*(-15)=-120, 可分解方程 X^2+2x-120=0 （方程二）
2. 分解ac质因素 -120=-2*2*2*3*5
3. 凑x项系数2，分解 -120=12*(-10), 满足 12+(-10)=2
4. 方程二分解为 (x+12)(x-10)=0
5. 缩小常数项共a倍 (x+12/a1)(x-10/a2)=0 a1*a2=8, 8=2*2*2*, 12/a1及10/a2须为整数，所以a1=4,a2=2，现在变换成：(x+3)(x-5)=0
6. 把缩小的（交叉）对应放大到x^2项,即(2x+3)(4x-5)=0.
至此，因式分解完毕。
练习一次，来一个难一点的：40x^2
−61x-84=0
1. x^2-61x-40*84 =0
2. -40*84=-2*2*2*2*2*3*5*7
3. 分解成8*(-420), -420+8<>-61
分解成32*(-105),Not Ok,但 32-105=-73 接近-61了
分解成35*(-96), 35-96=-61, ok
4. (x-96)(x+35)=0, 放大了40倍，缩小40倍, 40=2*2*2*5
5. (x-96/a1)(x+35/a2)=0, a1*a2=40, 但96/a1及35/a2须为整数，所以a2=5,a1=8
6. 把缩小的（交叉）对应放大到x^2项,即（5x-12)(8x+7)=0
再做一道练习: 6x^2+5x-6=0 ，通过图示，或许你可以更清楚地看清楚“放大-缩小-放大”的逻辑。
（图）
好了。
参考资料: 《烧掉数学》（burn math class), 作者名言“先撒谎再还原真相 ”
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