1.
经常看到这样的字眼“培养孩子的数学思维”，那么，你有没有追问：什么是数学思维？如果缺少这个追问，你都不清楚什么是数学思维，那就很容易被一些贩卖“培养孩子数学思维”的课程欺骗。
那么，数学思维到底是什么呢？
在这一个问题上，我完全认同数学教授罗博琛的说话：数学思维就是逻辑。
各类数学方面的学问，都是从某一个或一些假设（定义）或是不可置疑的常识做为基础，然后经过严密（纯粹）的逻辑在这一个基础上构造上去的。 如果在这一系列的构造中，哪怕只在某一个点出现了逻辑问题，那么整个（某个数学分支）大厦都会出现巨大的危机。
简单地说，数学是一门事关严密逻辑的学问（理论）。
罗教授在谈到“如何学好数学？”时，他强调“数学的学习，不能去依靠记忆知识点，而是要打通逻辑”。换句话说，知识点是离散点，逻辑就是要能透彻（完全或深入）地理解知识点之间的关系，只能逻辑才能把各知识点连接成一个结构。
培养孩子连通的能力，就是培养逻辑能力，也就是：培养孩子的数学思维。
【罗教授视频】
2.
一个人的逻辑能力不强，数学不可能好到哪儿去。反过来说，成立吗？即：一个人的数学强，逻辑能力一定强？一般来说，应该是成立的。
既然是“一般来说”，也就是有不少特殊情况时，是不成立的。在这些特殊的情况时，数学强的人，也可能逻辑力变得很差，表现得很弱智。
有一个很典型的例子：罗素。
罗素获得诺贝尔文学奖，他最强项可不是文学，而是数学，他创立了“数理逻辑”这一数学分支，他还是哲学家，可以想象（及推断），罗素的逻辑能力之强，人类史上比他逻辑强的人数并不多，非常有限。
但罗素在二战时，发表了不少很弱智的反战言论（具体言论请阅读《知识分子与社会》），所谓弱智就是说话没什么逻辑。
为什么逻辑能力那么强大的罗素会说出那么弱智的言论，比如“如果我们不威胁别人，也就不会有其他国家对我们开战”。他呼吁英国政府要减少军备，少制造武器，不要让德国希特勒感到威胁。
3.
一个合理的问题就产生了：为什么逻辑强如罗素的人也会说出如此没有逻辑（弱智）的话？
有两方面的因素：情绪与逻辑要素。
罗素是伟大（相当牛逼）的数学家，他逻辑能力强，他的数学牛逼，因为他对数学中逻辑的要素完全了解。但对于“社会、经济或是战争”中的逻辑要素，他未必都很清楚，即便有再强的逻辑能力（推理），如果推理建立在不清晰或是错误的逻辑要素基础之上，推理的结果当然是错误的。
罗素就竟然假设像希特勒这样的疯子会：只要少生产武器，就不会让希特勒感到威胁，从而德国就不会对英国开战。
显然，罗素缺乏对人性的深入理解，也缺乏对疯子的理解，也缺乏社会的理解，他的逻辑能力因为缺乏这些基本的逻辑要素，自然就会说出让人感觉可笑的弱智言论。
另一个是情绪的因素。
二战许多反战的知识分子，法国的妥靖政策，并非某一个政治家做出来的，是有许多知识分子支持的，知识分子传播他们的理念，也是有许多民众支持的。
这些知识分子对一战的恐惧还犹如昨日，这些恐惧的情绪，让这些原来逻辑强的知识分子变成了弱智。
一个人一旦处于情绪中，他的智商立马掉线，或可能等于零 - 这一现象可以称为常识（或公理）。比如，恋爱中的人们，也是处于一种极端（兴奋）的情绪中。
人在恋爱时就会变得弱智，人们经常选错伴侣，因为恋爱中智商为零，常看不到一些智商在线时很容易看到的问题，比如Baby当初选择黄这样的低级错误，而她没有选择彭于晏或是陈伟霆。
但，话说回来，我们吃瓜群众认为杨颖选择错误，问题是，我们并不是杨颖，并不能真正得知她选择黄的得失，我们也缺乏了解一些基本的要素，而推断出来她的选择不明智，这样的结论一样可能有误。
知识分子不只是在战争问题上比较弱智，他们在经济上也常常弱知。知识分子喜欢和平（所有人都喜欢和平），知识分孩子喜欢公正（所有人都喜欢公正），知识分子还喜欢公平（多数人都喜欢公平）。但正是知识分子喜欢公平，把社会带入了深渊，公平是经济发展的毒药，经济发展中的各种问题，归根结底是知识分子追求并布道他们的公平理论的结果。
什么时候，多数人不再喜欢公平，社会就会进入一个良性的循环。
4.
我们也一样犯罗素的错误：缺乏逻辑的基本要素，也自然在我们自己的情绪 - 我们可能不喜欢黄那种假假的笑，让我们觉得他不真诚。
为什么会出现：明白却做不到 - 因为明白是在平静时的逻辑，而做不到是情绪中的逻辑。为什么父母辅导孩子效果一般不好，因为双方都容易掉入情绪中，双方的智商都会下线，自然结果好不到哪里去。
我在教孩子数学的过程中，见证了太多的情况：孩子一旦有了情绪，智商立马为零。一个孩子完全可以完成的数学题，只要他有了情绪，就变得不可能完成。
所以，需要一再强调的是，想要培养孩子的数学思维，也就不得不关注孩子的情绪（能力） - 思考问题时不会被情绪给拉了下去。
关于情绪的问题，除了要培养孩子的安全感，在学习数学上，一定要鼓励孩子，不要批评孩子。很可能，正是因为一战让罗素没有了安全，他才会说了那么多没有逻辑的反战弱智言论。没有安全感，缺少鼓励的普通孩子，数学肯定不会好。
如果想进一步培养孩子的逻辑能力，则并不是简单地培养孩子的数学思维一样，还需要培养孩子看到一些肉眼看不到的能力。
因此，培养普通孩子孩子的数学思维，还可以在生活中培养孩子的逻辑能力，在生活中提升孩子的逻辑能力，逻辑能力上去了，孩子的数学思维自然地也会相应地提升。
多数父母（绝大多数）并不愿意在生活中培养孩子的逻辑能力，因为需要时间，他们认为还不如把这些时间用来刷题。当然小孩子也不愿意，他们更愿意把这些思考时间用来玩手机或是出去找小伙伴们玩躲猫猫类似的游戏。
人类本质上是讨厌思考的。
思考本质上是反人性的。
5.
那么，到底怎么办？
真的要生气了 - 横竖都不行。
办法不是没有，就是如何通过游戏让孩子学数学？可是并不是所有的数学逻辑都可以通过游戏来做，那么就尽可能地多设计一些游戏吧。
当然，设计数学游戏，并不只是要求数学能力强，还需要超强的想象力，这并不容易。
做好任何事，都不容易。
人性喜欢确定的具体的东西，所以，说太多的理论，如果没有一个具体的例子来展示具体的实践，就是忽悠人。
再次总结一下“培养孩子数学思维”的理论：不要记忆，通过逻辑打通（形成孩子的）数学的结构。补充说明，离散的知识点也容易忘记，而网络式的结构在大脑中存储更长久。
具体的实践就是：要让孩子去做“带有结构性的练习”，在练习中锻炼孩子的逻辑能力，在练习中通过孩子的逻辑推理完成对孩子（大脑中的）数学结构（概念之间的关系）的塑造（或构造）。
6.
一个“结构性练习”例子,数学练习题如下图：
这是给刚上小学一年级孩子的数学练习。
即便是刚入学小学一年级的孩子，一般来说，他们都会10以内的加法，不熟练也可以借助手指帮助完成。如果催促他们，20以内的也可以借助手指的帮助完成。
原始部落的计数并不同于我们的10进制，有自己的结构，当然这个结构和10进制相比，要弱很多。但是，不管是什么样结构的计数制，加法是一样的，因为加法本质上就是一种更聪明（或是偷懒的）数数。
虽然孩子之前没有学习过原始部落的计数，也没有学过原始部落的加法，但只要他了解一些基本的要素：不同的进制就是不同的计数（数数），加法是一个稳定的结构，本质就是快速的计数（数数）。
因为孩子并不熟悉原始部落的计数制，因此需要通过他熟悉的数数来让他了解原始部落计数制的结构。当他了解原始部落的计数制后，对他来说，加法既是一个结构，也是一种逻辑，当孩子用加法处理（计算）原始部落的“数”时，他就是在运用一种逻辑：加法可以处理一个数（不管是什么样的数），处理数的逻辑是一样的。
上面这样的练习与 3+2 = __ , 4+5 = ___ 这样的练习有什么不一样呢？“3+2 = __ , 4+5 = ___” 这样的练习，他早就熟悉了，继续做这样的练习（小学常干的事：计算练习，多数学校都有每天10分钟的计算练习，许多数学博主也非常强调小学计算练习） 就只是一种记忆练习，并没有在结构上下一点功夫。虽然上面这样的练习，本质也是做了几个简单的加法，但并不是强调记忆“3+2=5”这样的事实（知识），而是要求他思考：计数制的结构，加法的结构。
在介绍原始部落的计数制度进，并没有介绍10以上的数，例如: 11,20。但在后面的计算时，结果又出现了11，17，20,这时候，就要求孩子 能通过“原始部落计数制”的介绍推理出其构造规则，并进而构造一个新的数。
人们（孩子）太习惯10进制了，以至他们会常常忘了诸如: 12345=10000+2000+300+40+5这样简单的事实。
只要一个小学数学老师仔细观察，就会发现：许多数学普娃能够快速计算加法，但他们其实并未真正理解加法，能比较深入地了解加法的结构或逻辑 - 这当然是完全正常的情况，因为一个小学生能深入理解加法的逻辑，他就不是数学普娃了。
计算的练习再多，边际收益是递减的，当孩子基本会加法计算后，就应该不要做专门的加法（计算）练习，而是要做不同的（从不同角度）来促进孩子对结构的了解和提升孩子的逻辑能力的练习。
许多博主热衷于“母题”或各种解题技巧，或者这真的可以帮助孩子提高一点分数，但本质上都还是一种“记忆”型的练习：记住母题的样子（什么条件，怎么解答），考试中遇到样子差不多的就套用解答母题的思路，数学思维并没有是到真正的提升。
7.
认真的你，应该发现了：构造的能力对于一个孩子的数学思维培养万分重要。但传统数学教育到了高中都还没有开始培养去构造的能力，甚至包括大学非数学专业的数学教育。
数学与现实很不一样的是，数学很多时候就是凭“虚空”中构造出一个“东西来”，只要和自己的“兄弟姐妹关系融洽”。如果真的不融洽也没关系，就离家出走，自成一家，和自己融洽就可以了。
对于如何培养孩子的“构造”力，我是一个完全的小白，但我已明白了这一点的重要性，所以在开始一些探索。那些数学能力强，而且“教育素养”也强的人，他们应该在培养孩子的“构造”力方面有丰富的经验，比如：Jo Boaler，和Paul LockHart,及 Jason Wilkes。我正在向他们学习，学得很吃力，太挑战自我了。
如果你在给孩子寻找课外数学辅导（或培训）时，能发现这个数学老师能培养孩子的“构造”力，那就太幸运了，这样的老师肯定不多，因为多数老师培养孩子的数学思维力都还谈不上。
8.
虽然培养孩子的“构造力”非常难，但并非不能。实际上，还真有一个简单有效的培养孩子“构造”力的法子。这个法子是我在观看Tedx上的一个数学老师(Dan Finkel)的演讲(Five Principles of Extraordinary Math Teaching)看到的 - 第4个原则: Say yes to your student's idea 。
他举了一个例子，如果一个学生来找你并说：2+2等于12。传统的老师会急于纠正这个学生告诉他：2+2=4，不是12，你做错了。
而一个支持性的老师会怎么做呢？
他会说：如果2+2=12，
那么2+1=11，
那么2+0=10, 即 2=10
那么1=9,
那么0=8。
最后会发生什么？
会构造出“ mod 8”的结构来，因为：
12 mod 8 =4 = 2+2
11 mod 8 =3 = 2+1
10 mod 8 =2 = 2+0
9 mod 8 =1
8 mod 8 =0
Dan Finkel大意是，当了孩子犯了一个数学错误，先不着急说他做错了，不妨按照错误所依附的逻辑走下去，看看最后是什么？看看最后会有什么样子的结果出来？也就是说，不一样的逻辑构造出不同的结构出来。
【Dan Finkel视频】
9.
数学中的构造有自己的一套语言，这套语言全是“看起来莫其妙的符号”，一般来说，学生几乎不问为什么加号是“+”，减号是“-”，老师也不解释，只有大学的老师会给学生说一嘴积分的符号把它看成S(sum)的拉长吧。这样，学生看到积分的符号，好呆从直觉上（感官）和加联系了起来。或许，小学生老师不介绍“+、-”，是觉得没必要介绍，本来就是一个规定。
小学的符号就那么几个，小学生也容易糊弄和听话，不介绍也就算了，到了初中、高中，符号开始多了起来， 这倒也不用专门费太多的力气记忆这些符号，反正做练习多了，这些符号也就非常熟悉了。
但这些符号终究只是在学生中的抽象的符号，对于学生来说，和他们完全没有关系，除了做题，这些符号最好别见到他们，因为见到这些符号就想起让人烦的数学。
或许，学习数学，让学生自己参与这些符号的创造是非常有必要的。用他们自己的符号去表达数学的量、数量的关系、描述一个数学结构，他们会发现创造一个好的符号是非常有趣的事情，一个好的符号也是优雅的，也是美的。
Jason Wilkes在他的书《Burn Math》读者就介绍了如何使用自己创造的符号和数学语言，如何构造数学结构。
做为读者看到《Burn Math》（《烧掉数学》）书时，简直不敢相信：数学书还可以这样写！
或许小学生可以做一些练习，创造自己的数学符号，用这些符号表达数学问题。这不仅可以帮助孩子把复杂的问题简单化，而且可以清晰化。
人类发明各种概念性的语言，就是为了让表达更简单清晰，这样才可能有更复杂的思考，而数学语言也是如此，没有那些数学符号及表达形式，数学家们完全不可能进行数学研究和创造。
语言是人类思维的载体，数学语言也是数学思维的载体，小学老师急切地要求小学生解决问题，但很少要求他们用数学语言来表达（描述）问题。难道后者不是更基础性的东西吗？
心中没有语言，思维如何呈现呢？
培养小学生的数学思维，难道不需要关注小学生的数学语言吗？
10.
不知道你是否还在（读到这里）？一个数学普娃一般有一个数学普妈（或普爸爸），数学普娃和数学普妈有一个最强烈的想法：别整得那么复杂，有没有非常简单（执行方便，不需要消耗父母太多心神，且不需要父母数学好）有效的方法，可以培养（提升）孩子的数学思维（力）？
当然有的，而且全世界的人都知道这个方法：费曼学习法。具体到孩子学习数学，简单地说，就是让孩子给父母讲解数学题。
当一个孩子会做一个数学题，但他是通过回忆（记忆）类似的题型来解答，还是通过逻辑推理出来的呢？让他给父母讲解一下就知道情况了，如果他每一步都把“为什么这一步可以到下一步？”讲得清晰，说明他的逻辑及基础知识点都到了位。
实践起来非常简单，坚持每天抽一个有意思的数学题要求孩子给父母讲解，如果讲解不清晰，那么要求孩子继续思考，然后继续讲解，直到讲解清晰为止。
费曼学习法最适合理科的学习，特别是数学，当然并不怎么适合文科类的学习，因为文科并不像数学那样强调逻辑。
【费曼学习法视频】
11.
没有一套标准的培养小学生数学思维的方法，照着做就成了。孩子是一个人，不是机器。即便你是一个聪明的父母，用了一些科学的办法，孩子也有一点天赋，但也可能最后没有培养出孩子的数学思维，也只是和其他孩子一样，最终还是通过刷题提高了一些分数。
如果父母想培养一个数学普娃的数学思维，可能就需要在小学及初中阶段，放下数学成绩这个执念。只要你有成绩这个执念，对于一个数学普娃，你就要放下培养什么数学思维的想法，二者不可兼得。
有了成绩这个执念，数学学习对于孩子来说，一般地，就会成为一种负担，不说喜欢数学，至少孩子会觉得毫无乐趣可言。
当成绩（生存）成为主要或唯一的追求目标时，一个人就不会对美有所追求，数学家们都说“数学思维是很美的东西”，对美的追求，是在没有生存压力后才会有的。
当成绩成为主要或唯一的追求目标时，父母和孩子的关系自然地就会变得紧张，父母会变得很少鼓励孩子，而是本能地不自觉地会经常地打击孩子，当一个孩子经常受到打击，他的思维就会越来越糟糕，因为他没有能量去思考，他的能量都在考虑如何逃脱来自成年人的伤害（打击）。
对于成年人为说，没有成绩上的考量，（多数人）谁还在意什么数学思维啊。如果真的希望有一个好成绩，尽可能地把刷题提分等等东西推后 - 直到不能推的时候， 比如高中。小学、初中的数学学习，只要想着成绩，想着刷题，培养数学思维，那就免了吧，当然不是数学普娃的除外。
好了。
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