1.
三角形中线相交于一点G（或O,whatever)，有许多证明方法，中学课本或是一些教辅书上的证明方法都是“基于证明第三条线也是中线”，然后证明出三条中线相交于一点。
我今天尝试另一个方法（基于无穷的思想）来证明“三角形中线相交于一点G”，这个方法，在我看来，更直观，更简单，也更美妙。
并不是突然心血来潮想起来要证明这个问题。
今天早上重看（上一次只是看了一半，而且也只是看）保罗.洛克哈特(Paul Lockhart)的《度量》（Measurement)。 在书的一开始“论数学问题”这一节中，他给读者留下的一个问题就是：“因此，我要把三角形的三条中线相交的问题留给能干的你。”
我知道三条中线相交的问题在中学课本中有详细的证明，各种教辅书上也有好些种方法证明这个问题，但我想尝试不一样的方法。
2.
一开始并没有什么思路，只是把洛克哈特已画的图，照样在一张白纸上画了出来 - 把三个中位线画了出来在中间形成了一个三角形，然后出现了4个三角形。 太明显了：这4个小三角形是全等的，很容易看出来它们的三边相等，形成的几个四边形显然也是平行四边形。
我试着继续在最中间的三角中继续重复上面的运作，发现这一次中间的三角形，一眼就可以看出它是母三角形的缩小版（其实第一次的中间的三角形也是母三角形的缩小版，只是倒立过来）。
3.
如果不断地重复，每一次中间的三角形的面积都是上一级三角形面积的1/4, 偶数次时，相近中间的三角形面积比则是1/16。
每一次中线被相应的中位线切割成相等的2部分，也就是中间三角形的中线为上一级三角形中经的1/2，偶数次时，相近中间的三角形中线长度 比则是1/4。
4.
A1是EG的中点，B1是EF的中点，C1是FG的中点。显然地，AA1F在一条线上，又显然地，A1F1F在一条线上，那么：AA1F1F是一条直线。
同理:BB1G1G也是一条直线，CC1E1E也是一条直线。
5.
不断重复，偶数次中间的三角形以面积1/16不断地缩小，而偶数次三角形的顶点以1/2+1/8+1/32+1/128+1/512+...级数和远离母三角形的顶点.
6.
An及Fn沿着直线AF双向奔赴，不断靠近，无穷次后，终于合在一起成为一个点A(f)。
Bn及Gn沿着直线BG双向奔赴，不断靠近，无穷次后，终于合在一起成为一个点B(g)。
Cn及En沿着直线CE双向奔赴，不断靠近，无穷次后，终于合在一起成为一个点C(e)。
关键一点，这三对奔赴的“相对速度”是一样的，而且因为不断缩小的三角形都与母三角形相似（正成比地缩小）。
7.
三角形无穷缩小，最后会缩成一个点（这个结论是自己凭直觉得出来的，需要另外证明）。显然点A(f)、B(g)、C(e)这三个点始终必在三角形内，当三角形最终缩成一个点时，A(f)、B(g)、C(e)这三个点也必然在这个点内，即这4个点是重合的，也即 A(f)、B(g)、C(e)是重合的，也即这三个点相交于一点。
8.
顶点到中线交点距离为: 1/2+1/8+1/32+1/128+1/512+... = 2/3
9.
证毕。
好了。
