得到出版的系列讲义之一。2021年敝号随笔过《贾宁财务讲义》，2023年又随笔了《金融学讲义》。
进行数学通识教育的目的在于，一是增强人的判断力，所谓判断力，就是运用逻辑分析和逻辑想象的能力；二是增强分析问题的能力，没有说解决问题，解决问题的前提就是分析问题，把问题分析清楚了，自然就有应对办法，而分析问题，仍然是以逻辑的方法来抽丝剥茧，找准问题本质；三是增强使用工具和方法解决问题的能力。
从以上三个目的就可以看出，通识教育与学科教育的差异，通识教育重在解决人思维的广度和深度问题，不像学科教育那样是熟练一门方法或技术（如背诵乘法口诀表，口算能力等）。通识教育是从特定学科门类中，抽象出共通的思维模式和方法，得以让人可以普遍性的应用。
举的例子就是毕达哥拉斯定理或者说勾股定理。之所以我们说是“勾股定理”，是因为认为公元一千年前周公就跟商高谈论到了“勾三股四弦五”，比毕达哥拉斯提出“两个直角边的平方等于斜边平方”要早500年。
我们忽略了两件事，其一是有没有人比周公更早提到了这组数？其二是“勾三股四”与“平方”之间是不是一回事。
对于第一点，当然有，公元前三千年，比周公还早一千五百年，埃及人已经在用勾股来测算建筑金字塔了，公元前一千八百年，美索不达米亚人就记录了诸多三元数组，他们甚至发现了一组满足上述平方定理的很大的数：18541，12709和13500。
人家可没说这是埃及定理或者美索不达米亚定理。
原因是什么？我们的勾三股四弦五，在本质上，与埃及人的金字塔数，美索不达米亚的三元数，没有差异——其实都只是特例，是在说数字现象，而不是在谈及抽象定理。
这就是第二点，勾三股四弦五只是说了这三个数之间可以满足特定运算关系，而毕达哥拉斯之所以能更牛，是因为他抽象掉了具体的数，提出了一个可以普及的定理“直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方”，并且，他运用逻辑证明了这个定理是成立的。
很遗憾，我们的周公和商高没有谈及这个定理，更没有提出证明的方法。确证的证明方法，是在后来的《九章算术》中提出的，这已经比毕达哥拉斯晚了400年。
为啥很多事情不能深究。
定理，theorem，而不是具体的数字关系，才象征着人类在思维上的巨大飞跃。
从基本理论线索来看，数学之与其他自然科学，有三个显著的差异：
第一是逻辑推力与实际测量之间的差异。
实际测量总是会有偏差的，我们没有办法在实际操作过程中，把测量精确到就是3米，4米，5米，总会有稍许偏差。
只要有了偏差，就不可能得出精确的结果。所以，测量是不能作为数学结论的依据的，明确的数学结论，只能从主观的定义和公理出发，运用逻辑规则来加以证明，才能成立。
数学结论或定理，一定不是从实际经验中观察和总结归纳出来的。
第二是事实证实和逻辑证明的差异。
自然科学领域，观察现象，理清逻辑，提出假说，然后用实验证实，可以得出定律law。
因为是用实验证实，或者用测量的方法，所以，自然科学领域的定律law，总是存在一定的偏差，或者说，存在不适用的可能性，尽管这个可能性很小。因为实验操作本身不可能做到绝对的精确。
在数学领域，不可能使用观察性实验证据来证明一个定理theorem，定理只能通过定义、公理和逻辑运算，毫无瑕疵地予以证明。容不得一点误差或者偏差——定理要么完全成立，要么就是完全错误。
如费马大定理，在1996年怀尔斯以纯数学证明之前，都只能说是猜想，被公认确证无误之后，就成为定理（详细过程可见敝号2022年随笔的《费马大定理》）。
而哥德巴赫猜想，即便是当代计算机做到了人类所能想像到的极限数字的验证，可就是尚未从数学角度加以理论证明，那么就只能是猜想。
第三是科学结论的相对性和数学结论的绝对性。
科学结论的相对性，指的是，科学结论总存在可被证伪的可能性——无法证伪的言说，只有迷信和政治上宣布的真理。现有的物理学、化学、生物学，在地球上可能适用，到了黑洞领域可能就不适用，到了另外一个宇宙，可能完全是另一套。
但是数学不一样，平面三角形内角和180°，不论在那个星球，也不论是在哪个宇宙，都可以适用。
自然科学每前进一步，就会产生诸多新的发现和应用；同样，数学每前进一步，每证明一个定理，就可以依托这个定理，产生诸多逻辑推论，通过这些推论，创造出一些新的数学工具。
比如毕达哥拉斯定理，在此基础上产生了三角学，由三角学，产生了解析几何，从解析几何，产生了微积分！微积分对于自然科学的贡献，已经毋庸置喙——见2023年随笔的《微积分的力量》。
上述三个特征，决定了数学相对于自然科学和人文学科的傲然独立性。
自然科学和人文学科在绝大多数情况下都需要诉诸人类的感官经验，唯独数学可以脱离客观、脱离经验。
这个特点给了数学方法一种独到的优势——借助它，可以避开我们感官、情感和既有知识结构给我们造成的错觉和限制，直击事物背后的本质联系。
换句话说，如果数学逻辑过程没有错误，那么通过它得出的结论，即便有违我们的认知、感官，这个结论也有可能是正确的。
典型的如“哥白尼反转”——说地球绕太阳转，并不是观察、经验和既有知识积累的结果，而是数学推导的结果——让地球绕太阳转，在数学处理上更加简洁方便。
再就是作者举例的天文学家亚当·赖斯讲课介绍的情况——他们通过数学建模计算之后，发现宇宙的质量是负数！这又怎么可能？于是检查是否推导证明过程错了，检查来检查去，数学过程没有问题。
那么就只能说这个结果超出了我们现有的认知，也超出了现有的所有观测仪器——最终，赖斯团队基于负质量提出了“暗能量”假说，获得2011年诺奖。
毕达哥拉斯也一样，他的定理发现了一个问题——存在与他的认知不符的“无理数”，即非整数，也非整数构成的分数——无限不循环小数，也就是著名的根号2，2开方，即两个直角边为1时的斜边长度。他无法忍受这个东西的存在。
这里也再次提示了敝号在诸多科普随笔中提到的——人类历史上遇到过无数的问题，绝大多数的问题，其实都没有被解决，只不过是时过境迁，人们的认知范围扩大，认识程度加深，原来的问题，过了那个阶段，就不再是问题了。
像无理数这个东西，毕达哥拉斯穷极一生无法解决，到后来，大家承认了无理数也是一种数，接着还有无穷小、无穷大这种东西，因此，之前“如何解决无理数”就不是问题了。
反过来说，数学逻辑本身，能够让我们超出既有的认知局限，超出既有的感官局限！
再进一步，把握诸如数学逻辑这样的一些方法和准则，人类甚至都不需要去亲历实践，就能对现象做出准确的判断。
判断！
今天的生活中，那些被人为信息隔离和宣传鼓动制造出来的云山雾罩的事情，只要我们稍微能运用逻辑进行独立分析，就能看清楚。
什么是数学思维？
数学思维就是从不变的事实出发，运用逻辑推导，分析并解答问题。有没有不变的事实？当然有，比如，现有宇宙的总粒子数是有限的，任何经济增长都不可能是长期翻番的，人的寿命是有限的等等。
作者提到，08年金融危机中，股市腰斩的情况下，依然有诸如文艺复兴科技公司、迈克尔·伯里这样的人，依赖数学思维，依然赚得盆满钵满。
他们依据的就是一个简单的数学事实——任何建立在空中楼阁之上的复利增长，都是不可持续的。
比如金融危机中的CDS（信用违约掉期）这种东西，经过层层包装，作为新的证券上市出售之后，已经没有人能看清楚其中的结构了，投资者和投资机构只能相信包装者的各种演算和证明，以及短期的经济指标、价格走势之类的。
大家以为根据历史趋势和政策预期，通过计算机模型来测算的结果，就是在用数学思维来解析问题，那是大错特错。
真正的数学思维，恰恰是不依赖任何外部来的经验佐证，既不依赖大家的看法，也不依赖政府的宣传，更不依赖专家见解，也不会依据历史经验、时间序列之类的，而是不变的事实，以及并不复杂的逻辑推导。
对于CDS，数学思维的分析方式是，一是没有任何复利增长是长期可持续的，二是资源投入的边际效益总是递减的。
应用到CDS上，伯里们就发现，大家包装来包装去，炒来炒去，其实就赌了一件事——房价永远维持现有涨势，你觉得这有可能吗？不可能，那么就一定会有破灭的一天。
具体这一天是哪天，不可能准确预测，但根据当时市场资金流向和总盘，比如CDS的总盘子已经是房产市值的多少倍，可以大致判断其危险期在什么时候。
所以说，数学思维并不是指算某一笔投资什么时候回收，赚多少，那不是数学思维，因为投资的回收受到很多其它因素的影响，数学思维实际上是一种大趋势判断。
