从几何学早期发展史来看，也有一个本随笔开篇时的疑问——早在四千年前埃及人就已经发现了很大的勾股数，中国是在两千年前就有了，但为什么一直到古希腊的毕达哥拉斯，几何学才发展成了一套公理体系？
很简单，发展这样一种高度抽象的数学公理体系，需要相当强悍的抽象思维能力和创造力，而这两项能力，只能在人完全自由自在的状态下才能发生——雅典的城邦制度，奴隶主民主制，是人类历史上第一个能保证城邦公民完全自由的体制。
所以像芝诺那样的神人，才有闲暇和精力去探讨“看起来没有什么用”的四大悖论，像毕达哥拉斯以及他的学生群体，以及之后的欧几里得，也才有闲暇，把用于工程、测量、占卜、农业的一堆杂乱无章的图形知识，发展为一套数学体系。
联想一下今天在欧洲、美国知名大学中那些学者的状态与地位，以及中国的现状——大学教师们要定期加强人生观世界观教育，要打卡上班教学，要定期发表一定规格数量的论文，要接受既定课题研究任务，要想方设法争取更多的研究资源，还要为职称提升做大量“诗外”的功夫。
然后问，何以新中国的基础研究薄弱，何以出不来世界级大师？
还有一个联想，何以古希腊的学者动辄能够构建定理、逻辑和公理体系，中国古代的学者们则只是擅长某种特定的数学运算成果？
数来数去，两千年时间里，在数学理论领域，中国只有南朝的祖冲之和清代的李善兰，能够拿到世界范围去比一比。
有系统和体系的好处，就是可以把一代一代人的经验和推进，积累起来，形成合力，这就是为什么欧洲可以一个阶段一个阶段出现强悍的学者把数学推进一步。
中国各时期都有天才，就因为缺乏系统和体系，或者说，中国的体制不容这种系统化的创造，各个时期的天才都是把前人的路自己又重复走一遍，几乎是原地踏步。
祖冲之把圆周率算到了7位，此后就绝代了。一直到清代李善兰把人家欧洲两千年前的《几何原本》翻译过来，曾国藩的儿子曾纪鸿学完之后，一口气把圆周率推算到200位——中国不缺人学数学，也不缺数学头脑，可就是缺体制和系统，缺系统性的积累。
我本人只读过一半的几何原本，对其中的想法和公理的威力，震惊不已——当然也可能是自己几何学得不好。
谈及此事时，好几个身边人都说，这不是中学就看过学过了的吗，没啥好奇怪的。
几何原本里就是5个一般性假设，以及5条公理，就把我们所能看到、知道和想知道的日常世界都囊括其中了，吓不吓人。
5个一般性假设是：
如果a=b，b=c，则a=c。
如果a=b，c=d，则a+c=b+d。
如果a=b，c=d，则a-c=b-d。
彼此能重合的物体是全等的。
整体大于部分。
5条公理是：
由任意一点到另外任意一点可以划直线。
一条有限直线可以继续延长。
以任意点为心，任意距离可以画圆。
凡直角都是相等的。
过直线外一点，可以做一条而且仅一条该直线的平行线。（原话比这复杂多了，说的是一条直线与两条直线相交，如果某一侧内角之和小于两个直角之和（就是180°），那么这两条直线将会相交）
欧几里得奠定了一个分析问题和建立理论的套路——遇到问题，先定义清楚，然后结合公理，从定义里推导出定理。
这套体系在一开始运用去证明很多显而易见的事情时，诸如对顶角相等、同位角相等、直线是180°角时，让人觉得很“绕”——原因是，欧几里得体系极为严谨，只有以上5个一般性假设，5条公理，所有我们觉得显而易见的事，都必须通过这十个假设，逻辑推导出来。
反之中国则喜欢用直接方法来解决具体问题，比如用量角器量一下两个角是不是相等就可以。
但要知道，欧几里得那才是数学，量角器的方法只是经验和实验。
欧几里得的体系要到了后来，解决越来越复杂，越来越难以一眼看出、凭经验判断的问题时，就会显示出巨大威力。
因为欧几里得体系可以在各种问题之间形成很强的逻辑关联，进而可以把复杂问题拆解为简单的问题，通过解决简单问题，构造逻辑，进而再解决复杂问题。这种理路非常便于后人学习、熟练和进一步推导。
中国文化中时不时冒出来的数学发现和知识，由于没有一个逻辑体系去形成关联，这些知识就不成体系，散落在历史各个角落里，后人无法接收积累。
这也是为什么在算术领域（与实际生活结合最紧密的领域），单个中国人远远强于单个欧洲人和美国人，何以到了需要解决链式反应、临界质量这类复杂数学问题的时候，这种优势就不再的原因。
既然可以用公理和逻辑搭建一个自洽的理论体系，那么，运用不同的公理是不是就能搭建一个完全不一样的体系？
后来俄罗斯的罗巴切夫斯基就干了这个事，他觉得欧几里得5个公理中的第五条实在太麻烦了，去掉，看看剩下4个公理是否足够重新搭建几何体系。
结果是，罗巴切夫斯基发现，如果把第五条公理改变一下，允许直线外一点做多个与这条直线平行的直线，那么，就可以得出一个完全不一样，但却也能自洽的几何系统，这就是罗氏几何。他这么一来，那黎曼也改了一下，通过外一点做不出任何平行线，就得到了黎曼几何。
那谁是对的呢？
那就看你生活在什么样的空间里。
如果是我们日常经验中四四方方的空间，那当然是欧几里得对；如果空间是马鞍形，那罗巴切夫斯基就对了，在马鞍形状的平面上，可以做出多条平行线；如果空间是椭球形，那黎曼就对了，因为做不出任何平行线来，任何平行线最终都相交——想想地球上的经线。
罗氏几何和黎曼几何同样也是“看起来没什么用”的东西，罗巴切夫斯基完全是出于好玩，黎曼则是为了简化欧几里得几何的表述方式，比如，球面方程在欧几里得几何里表述方式为：x²+y²+z²=25，这个方程放到黎曼几何里，就可以简化为r=5这么简单。
看起来确实没什么用，花那么多心思放到这上面，真不如上山下乡的知识青年们和五七干校的教授们去搬石头和土方。
到后来爱因斯坦塑造他的广义相对论——弯曲时空时，发现黎曼几何是个异常好用的数学工具，简直就是为相对论量身定制的一样。
有用没用，怎么判断？
关键还是体制与环境，能不能容忍人们花费精力去自由创造。
到18世纪，人类的数学思维才迎来了一个“大综合”级的顶峰——笛卡尔的解析几何。
这个被誉为现代哲学第一人，近代理性启蒙者的人类智慧巅峰级人物，完全凭一己之力，超绝无伦的创造力和想象力，把代数和几何两个看似不相干的数学分支，统一了起来。
敝号2022年随笔了笛卡尔的《第一哲学沉思集》，2023年随笔了《笛卡尔的骨头》，以及所有关于数学史和思想史的随笔中都叙述。
解析几何的经典作用，是用代数解释几何问题，也可以用几何解释代数问题，让两个分支都可以跳出自身来解决自己看起来很难的问题。
没有解析几何，就不会有后来在光学上的进展，也就不会有光学仪器上的进展。
无论怎么推崇这一跃进的思想意义也不为过，笛卡尔头脑之凌厉，其后的牛顿、莱布尼兹也望尘莫及。
几何的公理体系的建立和普及，对于西欧人思维习惯和社会生活上的影响，是我们无法想象的。
一个例子就是罗马法。
罗马法是古罗马人用于征服世界的利剑之一。应该说，所有法律条文，不论在古罗马、古中国、古印度的起源都差不多，一开始，都只是统治者表述出来的条例。
罗马法的关键转折发生在查士丁尼时期，公元5世纪，对应中国的南北朝时期。这个时期对罗马法有重塑作用的人物，就是著名的西塞罗。
他仿照欧几里得的几何公理体系，把罗马法进行了再造，把罗马法从统治者的口令，转变为反过来可以平衡和约束一切的法律系统，变成了一种普适性的工具。
代表性的著作就是这个时期法学家们的合著——《法的阶梯》，这部纲领性文件，把罗马法分成了三个部分，一个部分以前一个部分为基础，层层递进。这三个部分是，自然法、公民法和万民法。
其中，自然法是基础，自然法就是罗马法中的“几何公理”，是西塞罗认为的，最基本的、不言自明的依据——法律是自然的力量（不是来自统治者的），是明理之人的智慧和理性，也是衡量合法与非法的尺度。
自然法是自然赋予一切动物的准则，不仅适用于人类。
公民法则建立在自然法基础之上，相当于自然法这个公理推导出来的定理，自然中众生平等，进而就有了公民法中罗马公民自由平等（当然当时还不包括奴隶），以及社会团体间的平等——为了明确社会团体的公民法地位，明确提出了“法人”的概念——相当于一个引理。
就这样，罗马法被改造成了一个基于自然法公理，以逻辑为框架，可以根据实际情况不断推导出定理、引理——也就是具体适用的法律条文的法律系统。
这样的法律系统有自己的独立性和生命力，不会随着统治者的变换而变换。
这就是何以罗马法生命力可以这样强劲，乃至两千年后，仍然可以成为现代国家法律体系的蓝本——包括新中国。
是的，我们今天的法制体系，完全来源于罗马法。
