与罗巴切夫斯基相对应，19世纪出生在穷国挪威的一个穷人家的孩子阿贝尔，在15岁这年才突然意识到自己的才华。他在繁重的家务和打工生活中完成了个人数学知识的积累，然后从18岁这年开始发力。
阿贝尔挺进的领域，就是此前柯西开辟的领域——把前人忽略掉严格证明的大多数领域填补起来。
老实人办扎实事，他瞄准的，居然是从古至今都能难倒大多数人的代数方程通解问题。
此时，一元二次、三次、四次方程都已经有了代数通解形式，五次方程的代数解还没有人弄出来。阿贝尔开始钻研。
他于19岁这年攻克了五次方程通解——最终证明五次方程是没有代数解的。
这为他在挪威赢得了巨大声誉，他所在大学的所有教授都联合起来，向大学和教育部申请专项经费，希望能支持阿贝尔到法国和德国两个数学圣地去游学！
他的偶像是高斯，把论文寄给了高斯，但高斯没有当回事。高斯向来都对其它人的工作不屑一顾。这就让阿贝尔放弃了去拜访高斯。
不过他在柏林却遇到了知音——数学家克列尔。克列尔当时有公职，且专事数学期刊的编辑和出版。正是这个克列尔，让阿贝尔很快在欧洲数学界出名——他出版了阿贝尔大多数的论文，并且积极给阿贝尔引见德国的数学家们。
阿贝尔接着又到了法国，倒是都见到了一圈知名的数学家，就是咱们前面提到的那些人。
不过这些人大多数都沉迷于自己的领域，或者说都是过于礼貌，从柯西，到拉普拉斯，泊松，没有一个人注意到阿贝尔研究的课题之重大——论非常广泛的一类超越函数的一般性质。
阿贝尔把论文提交给了法兰西科学院，也给这些著名数学家都送了一份。可是居然没有一个人注意到这篇论文。
数年后，直到阿贝尔去世了，才有识货的数学家雅克比——其实也是因为此人正在研究椭圆函数——发现了阿贝尔研究的价值，翻出来这篇论文，惊为天人。
很快这篇论文在雅克比的推荐下就受到了科学院的重视，重新加以发表，并且给阿贝尔授予了专门的奖项。
所谓超越函数，就是所有那些导数可以由系数为单变量的有理函数的代数方程来表示的函数，在这些函数间建立一种代数关系，就可以用一个代数函数和对数函数来表达任意多数目这类函数的和。
在法国他并没有得到自己所想要的，克列尔也仍然在替他争取柏林大学的教授职位。不过阿贝尔的旅资已经用完，穷得叮当响，而且国内新的资助也尚未申请下来，所以他只能到处借钱过活。
不久他患上了肺结核，挣扎了一阵就去世了，年仅26岁。去世两天后，克列尔的信到了，告知阿贝尔，他已经被柏林大学接纳为数学教授。
值得一提的是发现了阿贝尔那篇论文的年轻数学家雅可比，此人曾被高斯认为就是年轻时的自己，也被法国数学界认为是除高斯之外欧洲最强悍的数学家。
雅可比致力于研究椭圆函数，这属于工具的工具研究，可以说，正是这两个年轻人的工作，推动了椭圆函数理论的形成，解决了高斯提出来的单复变量函数运算的问题。
虽然雅可比也出身平民家庭，不过他在法国，环境和条件比之阿贝尔强了太多，就没有像阿贝尔那样总是挣扎于贫困线上。
傅里叶对这两个小伙有个批评，认为他们不该把过多精力集中于椭圆函数这么个虚无的东西，而应该像他一样致力于热传导研究这类更加实际的领域。
雅可比对此的反驳是，科学的唯一的目的，不是去解释自然或者实用，而是展现人类思想的荣耀，因此，纯数学问题与关于宇宙体系的问题具有同等的价值。
雅可比也和阿贝尔一样，英年早逝，46岁就死于天花。
雅可比关于科学的唯一目的是展现人类思想的荣耀和可能性这个观点，可能至今在我们看来都不对。
然而，正是基于这样看起来“没什么实际用途”的想法，才促成了18-19世纪欧洲数学的爆发式发展。
与阿贝尔同年的天才，来自爱尔兰的汉密尔顿，还真是爱尔兰风格，用几何学方法度量啤酒瓶尺寸的人。
因为有一个神经病一般的语言学家叔叔，汉密尔顿还在8岁时，就已经成了一个通晓英语、拉丁语、希腊语、希伯来语、意大利语、法语的语言怪物，同龄人英语都还说不溜时，他老人家已经在用拉丁语即兴创作六韵步诗了。
10岁时，他又学会了阿拉伯语和梵语。他那个神经叔叔还在继续引导，13岁他又学了波斯语、孟加拉语、兴都斯坦语，到14岁学习了汉语。
直到17岁他才开始系统学习数学。
可是他也就学了一年，就“有了奇特的发现”——特征函数。这让他得以考入著名的三一学院。
简答来说，汉密尔顿运用纯粹的代数原理概括总结了光学系统。此前的光学诸如反射、折射等主要通过几何来研究，哈密顿运用他的特征函数方法，把几何转变成了代数，并且实现了对费马的最小作用量原理的应用。
接着，这个神奇小子继续推进了让他得以名垂青史的“四元数”——敝号此前在随笔《无言的宇宙》中提到过，那公式至今刻在布鲁姆桥的桥头上。
关于四元数的思考和推进，涉及到了代数的本质问题，就像罗巴切夫斯基突然间发现欧氏几何其实不过是我们主观设定的一组公设规定出来的，并没有什么真正不变的几何，只要改变共设，就能创造新的几何学一样——我们所认为的数字的加减乘除这个体系，其实也是一组此前人们都没有注意过的公设规定出来的。
这组公设是：
一个特定的域，里面的元素，以及不同的集合，之间可以有这样一些映射关系，这些关系，就是我们在小学里学习到的分配律、交换律，以及任何元素+0等于自己，任何元素乘1也等于自己。
后来虚数和复数的出现，打破了这组规则，人们发现复数实际上创造了一个新的领域——带有方向的数字关系，代数不再是纯粹时间的科学，而加入了对空间的考量。
因为汉密尔顿本人讨厌对负数还要开方这么个想法，所以他对复数进行了改造，实际上就是抽掉虚数，只留下了复数的运算法则，a×b不等于b×a，而等于负的b×a。说白了，想象一下，就是在直角坐标系中，一个图形移动并且转了个方向。
就这样，汉密尔顿也跟罗巴切夫斯基一样，破除了代数的公设，告知大家，其实大家都可以根据自己的需要，改变共设，创造新的代数。
敝号在《无言的宇宙》随笔中提到，汉密尔顿发现三元数组可以描述二维平面几何，那么描述三维空间，就需要再加一个维度，这也就是他的四元数组的初衷。
伽罗瓦实在太悲苦，敝号已经在《无言的宇宙》、《代数的历史》中详述过，就不再赘述了。
伦敦又贡献出了两个数学大牛，西尔维斯特和加莱。
此二人都出自伦敦平民家庭，也都是天赋异禀，不仅精通数学，同时还兴趣广泛。加莱除了研究数学，还是一名律师，每天有繁重的财产案件要处理；西尔维斯特基本就是个语言学家和艺术家，他精通古典原著，写诗，在声乐上能唱到high C。
凯莱经常是在处理案件的间隙，与西尔维斯特讨论数学，就凭着这些间隙，发了三百篇数学论文。
西尔维斯特不仅当了保险公司精算员，还教了一个著名的女学生——南丁格尔，没错，就是那个把卫生要求带进战地医院，创立了护士职业和规则的南丁格尔。
西尔维特斯后来还被邀请去了美国，就职于约翰·霍普金斯大学，并创办了美国数学学会，以及美国数学杂志。
他们俩的贡献，在于代数不变量。所谓不变量，即此前我们提到过的，在转换系数、坐标系之后，一个方程或者说一个图形上维持恒定不变的要素。
凯莱就是在分析二次方程的判别式时发现这个问题的——什么样的二次方程，在系数变换的情况下，除去依赖系数的部分变化，判别式其它部分不会发生变化。
这个问题实际上是对“守恒”这个问题的纯代数提问。
凯莱和西尔维斯特要解决的代数问题，放到物理学上就更好理解——比如能量守恒，总量是不变量，但能量的形式可以发生各种转变；再比如是否可以找到一种数学形式，可以不依赖任何特定的参照系来反映现象，让同一现象，在不同参照系的观察者看来都可以表达为同一形式？
