反观后来的印度、中国，法律始终停留在统治者律令阶段，没有再形成过体系和系统。王朝时代结束之后，之前的法律就都废止消散掉了。
几何的公理体系，威力就有这么强大，不服不行。
然后开始进入到代数体系。
代数就是把具体数值抽象掉了，只剩下数值之间的关系。这种关系，后来被成为“函数”。
函数这个词是李善兰翻译时发明出来的，他的解释不是很准确，但发明的这个词却非常生动形象，很牛。
身边不少人把函数就理解为代数方程，其实两者是有差别的。
函数包含了方程，但不只限于方程，应该说，函数是一种变量之间的关系，不同变量之间通过一定的映射关系联系起来，构成了一种关系，这个关系，可以用函数表示。
代数的函数化，带给人类数学思维三大进步——其一是从关注具体数值，到了关注变化关系，其二是从关注具体数值，到了关注变化趋势，其三是提供了一种通用工具来解决各种问题。
函数还增进了我们对因果关系、因果必然性、相关关系的理解，简而言之，就是没那么简单，实际情况复杂着呢，正过来说反过来说，都会有理。
函数加上几何中的方向，创造出了今天在测绘、信息工程、交通、自动控制领域用途极为广泛的向量——带方向的数值。
向量的出现，又把之前提到的极坐标和笛卡尔坐标联系了起来，实现了和解析几何一样的功效，把不同坐标系里的问题可以进行相互转换，这个坐标系里难解的问题，换到另一种坐标系中可能就好解了。
值得一提的是，解答向量问题使用得最多的，是余弦公式或者说余弦定理——估计绝大多数人都已经忘了这是啥。
其实，余弦定理就是向量可被用于诸多实际工程用途的关键——知道任意一个三角形的两条边，和它们之间的夹角，如何求第三边的长度，就是c²=a²+b²-2abcosθ。
求第三边长度干啥？记得吧，任何一个三角形都是一个平行四边形的一半，而平行四边形，常常就是向量合力合并的模式或者说图形。
反过来，知道了三边，就可以求出两边之间夹角的大小，cosθ=（a²+b²-c²）/2ab。
其实，a²+b²-c²=2<a·b>，就是ab点积的2倍，所谓点积就是两个向量乘积结果是一个数值，不是向量，乘法的方法是a中的每个项，都与b中的每个对应项相乘，然后再全部加起来。
所以，cosθ=<a·b>/a和b模的乘积，所谓模，就是一个向量距离原点的距离（就是对向量中所有项的平方和开方）。
这么麻烦，有什么用？
其实，今天几乎所有涉及筛选、比较的计算机程序中，都使用了余弦定理。
举个例子，对文章进行计算机分类，一般就是找关键词出现频度，一篇文章中的关键词有多少个、出现频度，这就可以构成一个向量；另一篇文章中关键词有多少个、出现频度，也可以构造成一个向量。
然后就运用余弦定理，计算这两个向量之间的“夹角”，夹角很大，说明两个向量的方向差异很大，可以判断为不属同一类；夹角很小，说明两个向量方向一致性较高，可以判断为同一类。
还有筛选人才的例子，可以把需要用人的特点量化为诸多维度向量P，然后把应聘人的特点也量化为诸多维度向量V，计算两个向量之间的夹角，夹角越大，当然应聘的人就不太符合用人要求。
是不是立刻就想到了如何把数学工具应用到社会科学领域的诸多可能性？
从向量又进一步引发了矩阵，由向量计算，带来了矩阵的运算。从本质上看，矩阵就是向量的罗列，矩阵的加减乘除，实际上就是一种批量处理模式。——越是到后面，就越能看出数学的工具用途。
进入微积分的世界了，因为敝号随笔的《微积分的力量》实在太强悍，吴军在这里的叙述就略逊一筹，因此不再赘述，只是挑选一些之前的随笔中未注意到的事项聊聊。
之前已经说了导数的定义，也就是牛顿的流数，就是两个量变化的比值，只不过，这个变化都以极限出现，趋向零。接着，微分这个概念其实就是导数的另一种说法，为什么还要定义一个微分的概念呢？
因为微分的应用是在函数领域，也就是对特定的函数求导。对于多变量的函数，可能就存在一个哪个变量的变化率对因变量影响更大的问题，这就是微分的用处——后来所谓的偏微分、常微分就是用于判断不同变量的变化率的影响程度。
实际上，英文的表述更精确——导数是differential coefficient，微分的系数、微分变化率；微分是differential，区别分析的意思。导数就是微分过程中某个变量的变化率。
对多元函数的某个变量求导，就是偏微分，如果不同变量代表了不同的方向，那么每个变量的导数，就叫梯度——也就是事物朝向某个方向变化率的快慢。
要达到特定的目标，有逐个条件需要达成。不同条件或者因素，对于目标达成的贡献率是不一样的，甚至于在不同的时期，也是不一样的。如何把握不同条件或因素的变化率，来促成目标尽快达成——这就是梯度概念的用处。
对函数中各个变量求导，得到梯度，比较梯度的大小就可以。
奇点这个知名的宇宙物理学概念，也源自微积分——函数是否可导，也就是是否连续并且光滑，如果存在一个点，要么是导数不存在，要么是可以有两个以上导数，那这个点就是导致函数不连续的点，也就是singular奇点。
这又有什么用呢？
简单而言，奇点就是一个事物在时间序列发展过程中，遇到的突发、意外情况，中断了趋势，中断了判断。
比如宇宙发生学上的奇点，奇点之后才有时间和空间，奇点之前或之外，什么也没有，也就是说，宇宙的发生线在奇点那个点上是断裂的，不连续的，没有导数。
商业上的奇点，就是各种突发事件、政策转向等情况导致的经营预期中断。反面的例子很多，正面的就是突发事件、偶发事件导致产品突然间成为爆品，超出企业预计，产能跟不上，一下子出现所有渠道断供的情况。
奇点的存在告诉我们，所谓根据时间序列预测未来，根据历史数据预期未来，对未来要有足够信心，都是有前提条件的。
这个前提条件，用微积分来说，就是函数变化是连续光滑的，是可导的。
翻译成历史的、社会的语言来说，那就是，小到你所在的组织、单位，大到你所处的体制环境，有一定的稳定性，让人能够有稳定的预期。
从市场经济角度来看，什么造就稳定性？什么提供稳定的预期？与价格波动、经济波动无关，而与法治程度密切相关，也就是与体制密切相关。
体制是保护个人产权的，还是相反，体制是约束政府权力、尽量减少行政对市场的干预，还是相反，体制是鼓励个人自由创新和试错，还是相反。
个人产权受最高的保护，政府对市场干预力度受最大的约束，个人商业模式创新和试错受最大的鼓励，那么市场、企业、组织的函数就是连续和平滑的，处处可导，每一个变化和成长的环节，都可以分析与追溯。
如果市场总是在等待“下一个政策风口”，等待上级出政策，等待为民营经济“一锤定音”，新生事物总是需要政府补贴，一开补就跑漏，一断补就玩完，这样的市场，就总有“奇点”。
每个奇点，都会造就一个令人震惊的暴涨或者暴跌，就会出现一批批企业今天高歌猛进，下一年政策转向，立刻崩盘这种景象。——这也就是今天的灵魂一问，为什么我们的独角兽企业数量下降了？
在这样的市场上，你看到的增长曲线，都是断开的，想要去追溯分析，都非常困难——不可导，可复制的模式极度缺乏，充满了投机心态。而且，今天，这种投机心态改头换面，叫“紧跟国家战略，紧跟政策风向”。
之所以老是讲市场，就在于，市场本身是用事实说话的，不会因为我们的意志，就会营造出某种假象。
也许我们普通人一辈子也很难去做几个函数的求导或者偏微分，可在实际生活中，我们不过是在做非量化的求导和偏微分，或者干脆就是随波逐流。
