这也是此前那个在俄国战俘营里思考出来射影几何的彭赛利运用几何方法要解决的问题——被扭曲和变换参照系的图形如何保持一定性质的不变性。
此外，凯莱还奠定了一个强悍数学工具的基础——矩阵。也就是在分析解决二次、三次、四次方程问题时，他想到了把方程的系数独立出来，保留它们在方程中的位置，由此造成了矩阵代数。
矩阵的最大特点是，普通代数中的交换律不适用，交换位置后的矩阵乘法是不一样的，结果也不一样。
这个看起来没有什么大用的矩阵体系，在后来却被海森堡用于解决了量子力学的核心问题之一。
高斯之后的德国数学，居然在19世纪中期之后，又连续涌现出了魏尔斯特拉斯、康托尔、克罗内克、戴德金、库默尔等一干牛人接过数学研究大旗。
这代人继续发扬高斯、柯西和阿贝尔推动代数严格化的潮流，完善了数学分析。
魏尔斯特拉斯出身德国一个普通海关关员家庭，同样也是自小就展现过人的智商与才华，不仅喜欢喝酒，还擅长击剑。
有趣的是受到他父亲的影响和作用，他从波恩大学毕业后居然选择了中学教师作为职业。这个选择被后世认为是数学界的一大损失——琐碎的中学教学工作，占用了魏尔斯特拉斯大量的本来可以用于数学创造的时间和精力。
不过好在此人有足够的耐心和长寿，硬生生从德国那机械而僵硬的体系中脱颖而出，从中学教师做到了大学教授。
魏尔斯特拉斯的主要贡献，是把此前英年早逝的阿贝尔的事业继续推进——用可收敛的幂级数数列，重新定义了无理数序列，就是用有理数精确地定义无理数。
有了可收敛幂级数，数学分析中就可以开始操作例如2的平方根这样的无理数了。
魏尔斯特拉斯当教师最大的成就，可能就是培养出了一位俄国女数学家——科瓦列夫斯卡娅。这是一个极其聪明，且有学术野心的俄国小女生，从结识魏尔斯特拉斯之后，两个人就来往密切。
这中间有没有大家关注的桃色事件，不知道。魏尔斯特拉斯本人终身未娶，科瓦列夫斯卡娅也是有夫之妇。
在魏尔斯特拉斯的教授之下，科瓦列夫斯卡娅先是拿到了哥廷根大学的学位，接着就以固体绕固定点旋转问题的研究拿下了法兰西科学院的博尔丹奖，然后成了斯德哥尔摩大学的终身教授！
可惜的是这位魏尔斯特拉斯钟爱的女学生在盛年之时，因为流感去世。
与魏尔斯特拉斯齐名，且关系密切的一位朋友是克罗内克，他也同样通过自己熟悉的算术方式，把代数推进到精确分析的领域。这位克罗内克发明了用字母i来替代那个讨厌的虚数，即i的平方等于-1，确实，他就是因为讨厌根号下面还有-1，想起这么一招。
谁知，这起到了一个意外的效果，克罗内克发现，当大家都开始像对待x和y一样对待i的时候，就可以毫无顾忌地对多项式进行代数运算，直到最后一步，当每一个含有i的多项式都用i²+1去除的时候，可以把余项以外的一切都消掉。
同样的方式，负数、分数以及一切代数数，其实都可以用这个方法消掉，只留下有理正整数。
这也是敝号此前随笔《烧掉数学教材》里提到的，无中生有，从虚空中创造的东西，可以起到惊人效果的例证之一。要知道，i²+1就是0。
克罗内克也是那个年代一流数学家中，唯一一个把数学应用到了商业经营上，经营了一家百货店和一个农场，收入丰厚。
另外一位朋友是库默尔，库默尔的贡献是证明了大部分素数对于费马大定理而言不成立，同时还丰富了曲面积分，这种积分方法后来也同样被海森堡用到了量子力学体系中。
还有戴德金，戴德金的主要贡献是严格化无理数的定义。
什么是无理数？比如根号2，它说明的是什么？乘法中，根号2乘以根号3等于根号6。
其实，在算术中这很难做到，因为根号2和根号3都是无理数，只能说是无限逼近某个特定的数，但永远也达不到根号6。
戴德金用一个复杂的戴德金分割法，定义了无理数的存在。
敝号前些年陆续随笔的《无言的宇宙》、《代数的历史》、《微积分的力量》中都提到过，牛顿的伟大和不可撼动，造就了英国学界无以伦比的“自信”优势。可也恰恰是这种“自信”，以及顽固地守着牛顿创立的并不适用的微积分体系，造成了英国数学界自牛顿之后近三十年没有什么进展，落后于大陆。
一直到前面提到过的加莱，到布尔横空出世，才结束了英国数学界长达三十年的沉默。
布尔这一出手，就又开创了一门代数——数理逻辑，把逻辑引入到代数。
布尔出身平民家庭，因此在当时的英国教育体制下，只能进入国立学校学习。按照国立学校的体制，只培养职业工人和技术人员，不可能向大学输送学术人才。
因为当时的“体面人”和“上等人”的标志就是懂拉丁文和希腊文，所以布尔在自己十来岁开始懂事的年纪，就自学拉丁文和希腊文，以为学习两种贵族语言能够改变自己的身份。
国立学校毕业后，因为家里实在太穷，他只能谋求小学教师的职位来养家糊口。有了一点积累之后，他终于在20岁这年开始自己办私立学校。
也就是说，一直到20岁，布尔其实都还没有接受过系统的数学训练，也不知道自己在数学方面的天赋。
因为现在是自己办学，所以不得不开始准备一些基础数学课程给学生。这一看数学，布尔就发现问题了——不论什么类型的数学，他一看就懂，一懂就看出问题，此前自己也以为数学是一门多高深的学问，谁知仔细一看，就那么回事，还到处都是问题！
布尔先对拉普拉斯的天体力学和拉格朗日的分析力学进行了学习和反思，就形成了第一篇关于变分法的论文。
然后他注意到了当时存在的数学和逻辑之间的争论。值得一提的是，19世纪中期，代数体系已经有了充分的发展，有相当一部分数学家意识到，代数完全可以从具体的算术中超脱出来，就是一组符号和规则。这些符号和规则，从严格意义上来讲，与我们的语词和语法规则是一样的。
布尔注意到的争论正是当时的哲学家们对数学家们的批评，沉浸于具体而微的算术中，无助于养成逻辑习惯。
为了反驳对数学的这一批评，布尔写了一本小册子《逻辑学的数学分析》，开启了数理逻辑这一全新数学分支。
这本小册子的成功，让他获得了数学界的好评，被推荐为女王学院的数学教授。
39岁这年，他写成了成名作《对于奠定逻辑和概率的数学理论基础的思维规律的研究》。光是这个题目就能让人感觉到他的视野之广。他认为数学不仅是所谓逻辑的一种形式，甚至于上升到了思维规律的角度来认识。
用他自己的话说，就是要用微积分学来表达人类的思维推理过程，揭示人类逻辑思维的数学基础！
布尔把思维逻辑简化成了一种代数，所谓逻辑推理，其实就是按照特定规则，对公式进行运算。——这想法可说得上也是惊天动地级的，在人类历史上，首次把人的思维过程，用量化的方式表达。
把问题变成方程，把约束条件变成规则，把思考变成代数运算，把运算结果还原为逻辑，给出对原始问题的解答。
那么这么表达有什么用呢？通过布尔的思维代数逻辑，可以更加清晰和精细地展现逻辑的运作过程。
即便人的思维过程可能是这样，人的注意力也不可能做到每个环节每个细节都清晰掌控，通过布尔代数逻辑，可以更加简单清晰地把这些过程和细节展现，从而消除思维推导过程中的错误。
布尔用10个代数公设，定义了整个古典逻辑体系。有兴趣可以看看，任何一个学过初中代数的人都能看懂。
数学开始能够解释逻辑、思考和语言。毫无疑问，这启发了后来的罗素和维特根斯坦，用数理逻辑来发现人类语言的问题和错误，由此拓展为对方法论、本体论的反思。
到目前为止，随笔到的最具独创性和特色的数学家就是罗巴切夫斯基和布尔，同时期还有一位也享有此名声的牛人——黎曼。
