话题研讨 | 数学规定背后的道理值得讲吗？

数学规定背后的道理值得讲吗？

研讨内容：数学规定背后的道理值得讲吗？

在小学阶段，很多数学知识是一种规定。如，数位顺序表中，个、十、百、千，万、十万、百万、千万，亿、十亿、百亿、千亿……为什么以一、十、百、千的顺序循环？再如，为什么长度单位没有十米、百米和万米？在课堂教学中，哪些数学规定值得深度挖掘？如何让学生体会数学规定的合理性？您在教学中是不是也有这样的疑问?对于这样的问题，在实际教学中，您有哪些解决的方法和经验呢？

周角，是一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，度数为360度。这是数学的基础性构建，在这个前提下，有了平角直角几何三角等，进而发展为现代数学。学习角的度量后学生容易有疑问：为什么把圆周角规定为360°？以下的过程可帮助学生初步理解：

一、列举学过的进率

已学的度量单位进率有哪些？请你列举出来。学生独立写学过的进率再汇报。它们是：1元=10角=100分、1米=10分米=100厘米、1吨=1000千克、1千克=1000克、1时=60分、1分=60秒…… 在这些进率中，你有什么发现？学生观察后发现：除了60外，其他相邻单位间的进率都是整十整百整千数。

二、寻找60的特性

“60”有什么特殊？我们来找找60除以哪些整数得到整数商且余数是0。学生试着找出这些数。随后老师介绍：在整数除法中，如果商是整数且余数是0，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。如60÷2=30，我们说60是2和30的倍数，2和30是60的因数。如果学生找齐了，接着数一数60有几个因数。60有12个因数，分别是1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30和60。

360可被2、3、4、5、6、8、9等数整除，除了1和自己，共有22个真因数。虽然数字100更简单，但它只有2、4、5、10、20、25、50这7个真因数，无法被3、6、9等数整除。例如将100分成三等分，便会得到33.333……这样的结果。

在100以内，一个数最多只有12个因数，60是这样的数。大家看，因为60÷30=2，所以在说时间时，可以说2个30分钟是1小时；60÷20=3，可以说3个20分钟是1小时；60÷15=4，可以说4个一刻钟是1小时；60÷2=30，我们说30个2分钟是1小时。而17不是60的因数，就不能说几个（整数）17分钟是1小时…… 这样一来，因数个数越多，给人们表达时带来的方便更大。

三、介绍360的特性

圆周角的度数要尽量做到均分后是整数（也就是说圆周角度数尽量有比较多的因数）。那360有多少个因数呢？通过计算，我们知道360有24个因数，它们是1、2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、18、20、24、30、36、40、45、60、72、90、120、180和360。因为360的因数多，就方便了人们的表达。如三角尺上的度数（30°、45°、60°、90°），我们可以说12个30°就是360°，8个45°就是360°等等。

四、解释确定单位的原则

人们在设定度量单位时，要遵循统一又便捷的原则。把360°确定为圆周角的度数，把圆周角平均分成360份，将其中 1 份作为度量角的单位，既统一了角的度量单位，又给人们带来便捷。

这样合情合理的解释，比硬性规定不说任何理由的介绍，更有利于学生初步理解为什么圆周角是360°。

五、拓展与60进制有关

早期的人类计数通常是使用手指，所以基数是10，即“逢10进1”，这被称之为十进制。大家习以为常的印度-阿拉伯数字，就是一个以10为底的计数与演算系统。

但在古代，一些文明使用60作为基数，即“逢60进1”，这被称之为60进制。60进制是人类古代计数方式之一，其起源于公元前3世纪的古闪族，后传至巴比伦等地。

之所以采用60而不是其他数，这可能是因为60是一个相对较小的数，同时又可以被2、3、4、5、6、10、12、15、20、30这10个真因子整除，这使得60进制可以更加灵活地适用于各种计算。此外，采用60进制也便于尺规作图。在我国农历中有六十甲子的概念，便是天干与地支经以一定的组合方式搭配成六十对为一个周期。

60进制这种计数方式后来被阿拉伯人传到了欧洲，最终成为主流，目前被广泛应用于时间、角度、地理坐标等领域。如现在的一小时有60分钟，一分钟有60秒；圆周角有360度，一度有60角分，一角分等于60角秒。这些都是以60进制为基础的计量单位。

圆周角之所以是360度而不是60度，很有可能是因为古人发现一个圆内恰好可以放下6个以这个圆的半径为边长的等边三角形，如果一个等边三角形的内角定为60，那么6个正好是360。

因此，用360度来表示角度，比100更方便，因为它可以被划分为各种不同的角度，且这些角度都是整数，使得在计算时更加方便，同时也可以减少计算出错的可能性。

史老师梳理了“为什么规定圆周角等于360°”背后的道理，五个活动，层层递进，引导学生经历由“已知”到“未知”的过程。从中可以看出，史老师是一位非常热爱阅读，善于积累的老师。

这节课融入了很多的数学史料，如果把这个内容放在四年级学习“角的度量”时执教会有困难。因为如果使用的是人教版教材，那么因数和倍数、等边三角形的知识还没有学习，学生理解起来较困难。

在小学数学教学中，数位顺序表是一个至关重要的知识点。其中，个、十、百、千，万、十万、百万、千万，亿、十亿、百亿、千亿……以一、十、百、千的顺序循环，这一规定看似平常，实则有着深刻的道理。

一、为什么以一、十、百、千的顺序循环

1.十进制计数法的基础

我们日常所用的是十进制计数法，这种计数方法在人类漫长的发展历程中逐渐形成，主要是因为——人类有十个手指，在计数时自然而然地就采用了十进制。以一、十、百、千的顺序循环，正是十进制计数法的具体体现。

2.便于计数和运算

这样的循环顺序使得计数变得更加容易。当我们看到一个较大的数时，能够很清楚地知道各个数位上的数字所代表的数值大小。在进行加法、减法、乘法等运算时，也可以依据数位的进位和退位规则准确地进行计算。

二、数学规定值得深度挖掘之处

1.培养数感

深入理解数位顺序表的循环规律，能够帮助学生更好地建立数感。当学生了解了数位顺序表后，面对不同的数字，他们能够迅速判断出这个数字的大小范围以及各个数字在不同数位上的相对位置。

2.理解数学概念的发展

数位顺序表的循环规律反映了数学概念的逐步发展过程。从最开始简单的个位数，到后来越来越复杂的多位数，学生可以体会到数学的抽象性和逻辑性在不断增强。同时，也能让学生明白数学知识不是一蹴而就的，而是经过了人类长时间的积累和完善。例如，古代人们可能只会用简单的计数方法表示较小的数，随着社会的发展和需求的增加，才逐渐发展出了更复杂的数位顺序表来表示更大的数。

3.为后续学习奠定基础

对数位顺序表的深入理解将为学生后续学习更大的数、小数、分数等知识打下坚实的基础。比如，在学习小数时，就需要理解小数的数位顺序与整数的数位顺序之间的关系。知道小数部分的数位也是按照十进制的原则进行排列的，这有助于学生更好地掌握小数的概念和运算方法。

三、如何让学生体会数学规定的合理性

1.利用实物教具

可以使用计数器等实物教具，让学生直观地看到数字在不同数位上的变化。通过手动拨数，学生能够亲身感受满十进一的过程，从而深刻理解数位顺序表的循环规律。通过这样的实际操作，学生能够更加直观地理解数位顺序表的工作原理。

2.故事引入

讲述一些与数字发展历史相关的故事，如古代人类如何计数、十进制计数法的起源等。通过故事激发学生的兴趣，让学生了解数学规定的背后有着深厚的历史渊源。例如，可以讲古代人们用石头、绳子等物品来计数的故事，让学生明白计数方法是随着人类社会的发展而不断演变的。

3.实际生活案例

结合实际生活中的例子，如购物时的价格标签、电话号码、身份证号码等，让学生体会数位顺序表在现实生活中的应用。这样可以让学生感受到数学与生活的紧密联系，从而更加理解数学规定的合理性。

总之，数位顺序表中以一、十、百、千的顺序循环这一数学规定，蕴含着丰富的数学道理。在小学数学教学中，我们应该深入挖掘这一规定的价值，通过多种教学方法让学生体会其合理性，为学生的数学学习打下坚实的基础。

马老师聚焦“数位顺序表背后的道理”这一话题分享了自己的思考，从“十进制计数法的基础”和“便于计算与运算”两个角度，解释了“为什么以一、十、百、千的顺序循环”这个问题，然后阐述了教学中“让学生明白数学规定背后道理”的重要性，以具体课例为切入点进行介绍，内容详实，方法具体，可借鉴可操作。

在数学的学习中有很多的规定，比如：长度单位、面积单位、时间单位、人民币单位之间的进率，计算中规定有小括号先算括号里面的，以及混合运算的运算顺序等等。在教学的过程中既想让学生自己探索出来感受数学家的智慧，同时又想让学生理解背后的道理很不容易。下面我以小括号的产生为例，谈一谈小括号的作用。

原人教版数学一年级下册第六单元有一节课专门认识小括号，情境图的意思是我有10个星星，先剪掉2个，再剪掉3个，问还剩几个星星？分享这节课的课堂流程：

1.正常计算，引发冲突

2.思考解决办法，达成目标

3.拓展数学阅读，了解数学文化

这样的课堂处理让学生充分经历了数学符号的产生过程，感受符号的作用及必要性。学生印象很深刻，同时对于数学文化也有了更多的了解，知其然而又知其所以然。我觉得很有必要。

邵老师的分享给我们带来一些启发，教学中要充分调动学生的主动性。她并不是直接告诉学生，要想改变算式的运算顺序，需要添加小括号。也没有直接告诉学生，在含有小括号的算式中，要先算小括号里面的，再算括号外面的，而是由分步计算与综合算式的得数不同，引发认知冲突，给学生提供表征机会，借助学生不同的表征方法进行分析，很自然地引出了小括号，学生体会到了小括号产生的必要性，感受到了含有小括号算式运算顺序的合理性。

她的课堂适时渗透数学史料，介绍括号的产生，既让学生感受到了数学有趣，同时又会产生自豪感——原来我和数学家一样有智慧。

一、没苦硬吃是为何

多数机构会发现总结出来了很多的题型和解题技巧，如果跟随其思路走，会发现很多题目有巧解的方法。我在刚接触数学计算课时，感到十分费解的事情就是，为何要“多此一举”，费劲不讨好地去学习算理？看起来就像是没苦硬吃。

在实践与探索中，思维方式也在变化。学习10以内，100以内的加减法计算前，费了很大的功夫学习数的组成，前期感觉是多此一举，但后期计算多位数的加减法时就会用到“相同的计数单位才能直接相加减”，从一位数的加减法计算，两位数加减一位数，两位数加减两位数，甚至是在教研中了解到中高年级的计算课，本质上都是对相同计数单位的累加或细分……提到计算，必定离不开计数单位，前期学习的数的组成看似在兜圈子，其实是在为孩子理解计算的本质做铺垫。

二、课堂前行向何方

低年级了解数学概念确实困难，越是清晰明了的内容也越是概括程度高而显得抽象。因此对于学生而言在课堂教学上需要根据学生能够接受的程度调整内容。

1.真正利用数学模型，进行充分感知

数学课本中对于计数单位的认识除了结合小棒和计数器（数位表）外，在后面的练习中还出现了小正方体的模型，同时在摆一摆，想一想的实践中加深对计数单位的认识。在实际的教学过程中，前期课堂看似环节推得快，实际到了后期做练习时，缺少了真正的感知就只能靠不断地“打补丁”来强化各种数学模型所表示的含义。一定要留出时间，真正让学生进行操作感知。

2.总结数学模型，以不变应万变

戴曙光老师在《简单教数学》一书中提到，应用题只有两类：一类是总量与部分之间的关系，另一类是每份数，份数与总数之间的关系。在教研时我也真切地感受到了这句话的力量。

教研时有老师说，看着答案也没弄明白，然而用戴曙光老师的思路来看的话，这道题理解为“总差÷每分钟差=所用时间”，也就是书中提到的“第二类”应用题。从中其实就能感觉到数学模型的力量，足以以不变应万变。因此能够帮助学生总结出尽可能普适的数学模型，再用不同的例子进行佐证，便于学生理解。

三、具体教学仍存疑

虽说要让孩子进行充分的感知，但实际教学中要与孩子持有的感知材料做斗争，一节课上的时间感觉操作不够，理解不透，孩子依旧存疑。有没有什么方法或依据判断学生的感知是否充分，能够帮助判断掌握好使用教具的时机。

付老师从自己刚走上教学岗位时遇到的困惑——“计算课为什么要费力不讨好的学习算理”谈起，由最初认为这是“多此一举”，到最后明白其意义，进而体会到数与运算的一致性。她还以“计数单位的认识”为例，谈了一个共性问题：很多时候老师因为学生活动不易组织，而在教学中不重视组织学生进行一些操作实践及体验的活动，以至于在学生做练习题时暴露出问题后再“打补丁”。

付老师善于把阅读与教学联系在一起，结合自己阅读的书籍与学校教研活动，谈了关于构建数学模型的一些思考，做到学以致用，是一位爱阅读善思考的老师。

教学实践中遇见困惑在所难免，可以去查阅相关的文献，多阅读，去实践。

数学规定背后的道理，不仅值得讲，而且非常有必要讲给小学生听。通过深入挖掘数学规定的合理性，可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，培养他们的逻辑思维能力和数学素养。

对于数位顺序表中“个、十、百、千”的循环顺序，可以向学生解释这是基于十进制计数法的规定。十进制计数法是人类在长期实践中形成的一种方便、易懂的计数方式。通过讲解十进制计数法的历史渊源和实际应用，可以帮助学生理解这一规定的合理性。

至于长度单位中没有“十米、百米和万米”的问题，可以向学生解释这是为了简化计量单位体系，避免单位过多导致混淆。在长度单位中，我们选择了“米、千米（或公里）”等作为常用单位，这些单位已经能够满足大多数情况下的测量需求。同时，通过引入“分米、厘米、毫米”等更小的单位，以及“十米、百米”的口头表达（但不作为正式单位），可以丰富我们的测量手段，但并不需要将这些口头表达正式化为计量单位。

在课堂教学中，以下数学规定值得深度挖掘：

数的表示和运算规则：如正负数的表示和运算、分数的表示和运算等。这些规定背后都有深刻的数学逻辑和实际应用背景。

几何图形的性质：如圆的周长和面积公式、三角形的内角和等。这些规定不仅具有美学价值，还是解决实际问题的重要工具。

计量单位和换算关系：如长度、质量、时间等计量单位的定义和换算关系。这些规定对于科学研究和日常生活都具有重要意义。

为了让学生体会数学规定的合理性，可以采取以下方法：

借助实物和模型：通过展示实物或模型，帮助学生直观理解数学规定的含义和应用。

引入历史背景：通过介绍数学规定的历史渊源和发展过程，激发学生的学习兴趣和好奇心。

设计实践活动：通过让学生参与实践活动，如测量、计算等，让他们亲身体验数学规定的实际应用和合理性。

鼓励质疑和探究：鼓励学生提出问题和质疑，引导他们通过思考和探究来理解数学规定的合理性。

在我的实际教学中，我通常会结合学生的生活实际和认知水平，灵活运用上述方法进行教学。例如，在讲解数位顺序表时，我会让学生用不同数量的小棒来表示不同的数位，通过动手操作来理解数位的概念和十进制计数法的原理。在讲解长度单位时，我会让学生用尺子测量教室的长度和宽度，通过实际操作来感受不同长度单位的差异和换算关系。通过这些方法，我能够帮助学生更好地理解数学规定的合理性，提高他们的数学素养和思维能力。

常老师阐述了让学生明白数学规定背后的道理的重要性和必要性，并结合自己的教学实践，谈了怎样教学可以帮助学生理解规定的合理性，及关于“十米，百米和万米”需不需要教学的问题。分享可探究的几个重要模块也为我们打开了思路，在教学实践中要将“为什么这样做？”作为一个研讨点激发孩子们的数学思维，也正是这样一节一节的课，才能逐渐培养孩子的数学眼光。

编辑｜刘嘉琪

审核｜焦兵书  李琳  李丹  郝艳飞