摘要 利用华中科技大学数学分析考研题一则介绍了Euler-Maclaurin Formula的简单应用.
★解答下列问题.
(1)设为上的非负递减函数,记
证明:序列收敛.
(2)计算
(参考.)
分析 对于(1),作图后的意义会变直观,这也是证明想法的来源.
对于(2),总得用上(1)的结论,又看到提示,考虑取,对于这种交错级数,一个很重要的处理手法是分奇偶分别讨论,然后说明奇偶序列同时收敛到同一个值就可以了.
注 本题的命题背景为Euler-Maclaurin Formula,该公式可以用以估计离散和式的阶,处理离散和与连续和的误差估计等.这里给出该公式的一个一般形式,具体可以查阅参考文献[1].
设在上具有阶连续导函数,则对于任意任意,有其中
证明 (1)注意到对任意的正整数,有
故
而
故数列单调递减,且有下界,故收敛.
(2)考虑,代入(1)中的,得到
不妨记,其中.考虑
结合条件令,就得到了
化简得.又
故
类似的问题还出现在复旦数院2019年直博考试中,即
求极限
结果是.
参考文献
[1]潘承洞、于秀源. 阶的估计基础, 北京: 高等教育出版社, 2015.
