摘要 敬业中学高三10月月考数学解答题最后两题,其中最后一题具有相关高等数学背景,即讨论周期函数的原函数的周期性.
需要注意的是,单纯地记忆答案和套路并没有太大意义,这些题高考几乎不可能考.我们需要关注的是分析题目本身,从而锻炼自己分析问题和处理问题的能力.这两题基本已经覆盖了上海高考函数(含导数)部分的重点难点.教师可以在适当的时候对题目的背景知识进行补充,培养学生对数学的“直观”.
已知函数,其中是常数.
(1)若,判断的奇偶性并说明理由.
(2)若,且在上严格减,求实数的最大值.
(3)若,且不等式
对一切实数恒成立,求实数的取值范围.
分析与解 (1)首先的定义域关于原点对称,先试试如果有
再对任意的,
故当时是上的奇函数.
若,注意到
此时故此时是上的非奇非偶函数.
还蛮容易踩坑的.
(2)这里求导也太折腾了.如果没学过求导呢?回忆一下必修1中处理单调性的手法.
对任意,注意到
这时候我们只需要
恒成立就可以了.利用,此时结合,有
故.
计算量也不小.
(3)利用
直接代入不现实,利用奇函数以及单调性来处理,即在
这一步可以直接利用(1)和(2)得到.
还记得这个函数的图像是怎么画的吗?必修一的课本上是有的.
此时
那么
故
解得.
若定义在上的满足是以为周期的函数,则称具有"性质".
(1)判断函数和是否具有"性质",并说明理由.
(2)已知具有"性质",求函数在上的极小值点.
(3)若具有"性质",且存在实数,使得对任意的,有,证明: 为周期函数.
(可用结论:若,则,其中, 是常数.)
分析与解 (1)注意到,而是以为周期的周期函数,故不具有"性质",而具有"性质".
(2)利用,就表明
即
对恒成立.
这里可以用和差化积公式,也可以利用一些特殊值来化简,比如令和,就得到
此时,而为中的偶数,即.此时
令,解得或,故在
故在上的极小值点是.
(3)不妨取,则
若,则命题得证.
若,则
这里我们希望说明的情形是不存在的,即用反证法,与的有界性推出矛盾.不妨取,则
这里只需要即可,这样就得到了矛盾.
注 本题的命题背景为如下命题.
若是上的可积周期函数(在任意区间上可积),则
可以表示为一线性函数和一周期函数的和.
有兴趣且具有高等数学相关知识的读者可以证明该结论(利用在周期上积分的平均值来分离出线性函数部分和周期函数部分).
利用这一命题对于(2),需要,同时是以为周期的周期函数即可,此时.对于(3),注意到,而是周期函数,又,故也是周期函数.
