摘要 上海大学高等代数考研试题二则(2024年).
★设, 是首一不可约多项式,若存在正整数,使得在上的极小多项式为,求矩阵
的极小多项式.
分析 我们大胆一些,让是单元素矩阵,此时极小多项式为,而
的极小多项式为,此时
故推测一般情形下的的极小多项式为.
解 计算可知(归纳法)
即对任意正整数,
注意到
★设是有限维复空间,设是上的两个线性变换,满足
对任意复数,定义的子空间为:
(1)证明: 是不变子空间.
(2)若不是零空间,则是或.
分析 我们先来简化一下记号.记,则
为此我们需要准备一些“原材料”.简化的想法来源也是这里.
第四版复旦高代白皮书例6.32(参考文献[2]) 设是阶矩阵,其中,若满足或,则的特征全为零.
这里操作手法的核心是注意到对任意正整数,有
由此得到,再利用Newton公式即可.由是幂零变换,得到的特征值只能是和.
无意间发现我们解决了(2),我们再回过头来看(1).这里手法有些区别.
这里利用,得到
依次类推,对任意正整数
故对任意的,利用的定义,得到
由此可知,就完成了(1).
解 同上.
参考文献
[1]姚慕生、吴泉水、谢启鸿. 高等代数学(第四版),复旦大学出版社, 2022年
[2]谢启鸿、姚慕生. 高等代数学习指导书(第四版),复旦大学出版社, 2022年
