摘要 上海某校高二数学月考最后一题一则.
已知数列,对任意正整数,都有,则称是严格凹数列.
(1)若,判断数列是否为严格凹数列.
(2)证明:数列为严格凹数列的充要条件是对任意的正整数,当时,有
(3)设是定义在正实数集上的严格增函数,且,数列是严格凹函数列,严格增数列各项均为互不相等的正整数,若
恒成立,求实数的取值范围.
分析 (1)只需要根据条件进行验证即可.
(2)利用进行拆项放缩.
(3)可以令,此时发现,再令,此时发现,猜测.最后利用的性质以及进行放缩.
解 (1)注意到
以及故不是严格凹数列,而是严格凹数列.
(2)对于充分性只需要令即可.下面说明必要性,注意到
故类似地可以得到这样就完成了证明.
(3)注意到对于,有
故对任意的,有即
再利用
其中.最后
故只需要即可.
注 (1)本题在几何意义下(比较斜率大小)是较为直观的.
(2)前两小问的分数应该尽可能拿到.
(3)不同教材对于函数的凹凸性的定义有所区别.
