摘要 上海交通大学高等代数考研试题二则(2024年)
★称满足的矩阵为投影矩阵,证明: 是投影矩阵的充要条件是存在列满秩矩阵,使得.
分析 关键在于利用的正交相似标准型和矩阵的满秩分解给出的形式.
证明 充分性验算即可.下说明充分性,注意到的特征值只能是或,故存在正交矩阵,使得
这里
又注意到,故
取满足题意.
注 本命题的背景为数值计算中的Moore-Penrose广义逆矩阵(伪逆矩阵),有兴趣的读者可进一步学习相关内容.
★设是维线性空间上的线性变换,证明:存在,使得,并求的最小值.
分析 我们先来做一些转化(简化):
这一步只需要利用维数公式即可.为求出的最小值,我们介绍第四版复旦高代白皮书例7.93(参考文献[2]),即Fitting分解,设是数域上的阶矩阵,则相似于,其中是上的幂零矩阵, 是上的可逆矩阵.
解 断言的最小值就是的极小多项式是中的幂次,也就是在一组基下的表示矩阵中特征值对应的Jordan块的阶数,即的阶数.
参考文献
[1]姚慕生、吴泉水、谢启鸿. 高等代数学(第四版),复旦大学出版社, 2022年
[2]谢启鸿、姚慕生. 高等代数学习指导书(第四版),复旦大学出版社, 2022年
