摘要 复旦大学代数与几何考研试题二则(2024年).本文展现的并非试题解答,而是一个尝试的过程.
★设是阶半正定实对称阵,记
且复数的虚部均大于零.证明:若存在这样的使
则.
分析 我们不妨取,处理手法是类似的.设,则
而有解,意味着方程组有非零解,记为,考虑
即
似乎无法分离出我们所需要的内容,调整一下.
故
这时候利用
去掉,只剩下(利用虚部大于这一条件),而数的转置还是自身,故
结合均为半正定实对称阵,故只能
类似就可以得到,这就完成了的情形下的证明.
解 其他情况是类似的.
★证明: 阶复矩阵与相似的充要条件是的特征多项式为,其中.
分析 我们将问题转化为复数域上的Jordan标准型,即
接下去我们要解决一个问题,即能否“拿进去”,即需要如果这一步是可行的,那么
这表明如果与相似,则对任意的都有,此时只能是或.故
此时就是特征值对应的Jordan块的块数,故
故的特征多项式就是.
最后我们只需要补充当中“拿进去”的合理性,参考第四版复旦高代白皮书例7.7(参考文献[2])的过程即可,即与具有相同的不变因子,故相似.
下面给出例7.7.
设阶矩阵的特征值全为,则对任意正整数,有与相似.
参考文献
[1]姚慕生、吴泉水、谢启鸿. 高等代数学(第四版),复旦大学出版社, 2022年
[2]谢启鸿、姚慕生. 高等代数学习指导书(第四版),复旦大学出版社, 2022年
