摘要 中国科学技术大学线性代数与解析几何考研试题一则(2024年)
★设为阶Hermite方阵,其特征值满足
(1)证明:对任意非零复列向量成立
(2)设均为阶Hermite矩阵,证明:
分析 众所周知,我们有第四版复旦高代白皮书例9.52(参考文献[2]),这就是(1).
我们来分析下(2).这让我们联想到第四版复旦高代白皮书例9.53(参考文献[2]),即
设是阶实对称阵,其特征值分别为证明: 的特征值全落在中.
稍加修改就可以了.
解 (1)设为酉矩阵,使得
对任意复列向量,设则
同理得到另一边的不等号.
(2)任取的实特征值以及特征向量,有
而
利用,得到,一般地就有
注 (1)本题也同样出现在中山大学2021年的高等代数考研试题中.
(2)有兴趣的读者可以进一步了解瑞利商(Rayleigh Quotient)的相关内容,这一概念在矩阵分析的教材中有所涉猎.
参考文献
[1]姚慕生、吴泉水、谢启鸿. 高等代数学(第四版),复旦大学出版社, 2022年
[2]谢启鸿、姚慕生. 高等代数学习指导书(第四版),复旦大学出版社, 2022年
