摘要 复旦数院的数学分析(II)期末考试题两则.
说明 我们尽可能在这当中呈现思考的过程,即使方向未必是正确的,但这仍然是有必要的.
设,求的定义域并讨论其连续性与可微性.
解 我们只需要讨论时的情形即可.结合,以及在上收敛且有任意阶导数.故在上有定义,在内连续可微.
下说明在处不连续.对任意,以及正整数,有
其中利用了关于单减.这样就得到了在的不连续性.
函数列在上一致收敛,求满足的条件.
解 注意到.考虑到在时为,故必须,否则.
由于在和处的连续性“存疑”,故分段.
当时,有
故在上一致收敛.尝试 当时,令,注意到
由于故当时,有.此时发现难以继续进行,修改放缩过程.修改 考虑
以及重复尝试的过程,注意到
计算可知当时,有若要,则.综上所述,满足题意的的范围是.
