摘要 复旦数院的数学分析(III)期中考试题两则.
设.若为有界正函数,满足,证明:
思考 要证明
这里.计算后发现,此时结合弱极值原理推出证明 记,则
故
记,则.故在时取最小值.此时且和均大于零.故即这就完成了证明.设为开区域,且,且在内任意点均有
设有界闭区域,证明满足方程组的点至多有有限个.
思考 注意到
故可确定唯一的,其中.接下去考虑用反证法,即若有无限多个点,则有一列收敛的点列,其收敛的极限满足,此时这些点也满足隐函数存在的条件,这与唯一性产生矛盾.
证明 由题意可知
故可确定唯一的,其中.若满足题意的点有无限多个,则由是有界闭区域,则存在一列点
满足,进而这样就得到了邻域上的唯一解.但意味着在上还存在其他隐函数解,这与题设矛盾.