摘要 通过湘潭大学数学分析考研试题一则简要介绍数论与复变函数论中的Euler Product Formula,即Dirichlet级数表示为一指标为素数的无穷乘积.
★设, ,这里,其中为第个质数.证明:级数与均收敛,且.
分析 我们直接来说明(2),考虑
问题在于如何“从里分离出素数”,考虑错位相减
两式相减,得到
这样我们就“分离”出素数了,再类似的操作一次,得到
不断这样做下去就得到了
其中,令,则.
当然我们也可以直接来作差估计,即
这里不包含超过的素因子,此时
令即可.
解 同上.
注 题中可以改进为,这里.
参考文献
[1]唐志华, 徐沥泉, 徐利治. 欧拉应用分析于数论研究综述[J]. 南京师大学报(自然科学版), 2007, 03.
[2]史济怀等. 复变函数. 合肥: 中国科学技术大学出版社, 1998.
