摘要 复旦数院的数学分析(英才班)(I)期末考试题两则.
设,在内二阶可导.又
证明:存在,使得.
思考 直接通过结论构造辅助函数“似乎”不太行得通.从出发,发现可以取满足题意.可以类似于插值多项式的方法,构造.发现
这并不是我们想要的,即使用一次中值定理后需要调整方法.证明 令,则
由此存在和,使得考虑,则化简即得结论.设上的连续函数列对每个均有界.证明:存在内点非空的集合,使得在上一致有界.
思考 能否利用在任意内点非空集合上不一致有界,推出存在对某个无界?此时问题转化为与的不一致有界之间有何种联系.可以从集合
的角度出发,利用非空完备度量空间是第二纲集,从而找出.
证明 反证如下.若对任意,都有和,使得.考虑开集
利用Baire纲定理和闭集套定理,得到
