“编者按：代数数论其实主要是在长期试图证明费马大定理的过程中慢慢发展起来的，为了证明这个著名的猜想，人们前后用了三百多年的时间。大约在19世纪的中叶，数学家拉梅（G. Lamé）宣称：借助于运用和初等数论（整数环）中的唯一分解定理类似的结论，他已经证明了费马大定理，后来，数学家刘维尔（J. Liouville）指出了其中很隐蔽的错误是：拉梅在“证明”中所使用的分圆整数环一般不成立唯一分解定理。在1997年第3期的《数学译林》上，发表过一篇很有意思的文章“献给愚人节的费尔马最后定理，四色猜想，以及比尔•克林顿”（文章中所说的“费尔马最后定理”正是费马大定理）。这篇文章讲了费马大定理的一个似是而非的“证明”，它其实相当完整地给出了拉梅的错误“证明”。正如这篇文章的作者所说：这个“错误是很有价值的。在某些情况下，错误导致强大而深刻的新数学事实的发现。”实际上，这个错误直接导致（或启发）了后来关于唯一分解定理的各种推广。在历史上，经过库默尔（E. Kummer）、戴德金（R. Dedekind）和E. 诺特（E. Noether）等数学家们一步步的辛勤努力，在这个基础上，诞生了关于“理想”的一系列基本概念，以及对于现代数学来说十分重要的交换代数和代数数论。初学者在学习理想理论和代数数论时，如果了解拉梅和刘维尔的这一段历史，那么代数数论的理论就会变得生动起来，从而激发起人们产生进一步学习与研究的兴趣。在大学数学的教学与教材中，通过给出数学历史来源和动机来讲授数学的方法，也被称为“历史途径法”。
图1：I. Stewart等人写的《Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem（代数数论与费马大定理）》（第4版），这是一本写得很好的代数数论初级入门书，它以证明费马大定理作为目标，来讲解代数数论的基本思想
图2：J. R. Goldman用历史途径法写的《The Queen of Mathematics：A Historically Motivated Guide to Number Theory（数学的皇后：给出历史动机的数论导引）》，该书共有23章，前六章按照历史的顺序，依次详细地介绍了费马、欧拉、拉格朗日和勒让德对数论的重要贡献，然后用八章的长篇幅详细讲解了高斯的经典名著《数论研究》，充分解释了《数论研究》中所包含的同余、二次型和分圆域等基本理论。接下来的三章从高斯整数出发讲解代数数论入门的主要内容，然后再用三章介绍算术几何最基本的内容，其中着重讲解了椭圆曲线的基本理论，最后的三章分别讲丢番图（Diophantus）逼近、数的几何、p进数理论
图3：J. Goldman写的《The Queen of Mathematics：A Historically Motivated Guide to Number Theory（数学的皇后：给出历史动机的数论导引）》的日译本
图4：W. A. 科佩尔写的《数论——数学导引》中译本，该书在讲数论的同时，还讲了不少数论与其他数学领域的联系，这样就把数论当作了对整个现代数学的一个“导引”。由于在20世纪数论的发展中，大量地运用了其他数学领域的方法，所以通过学习和了解现代数论，我们可以更好地理解代数学、代数几何、微分几何、拓扑学、分析学、应用数学等领域中的许多概念与方法
图5：S. Alaca等人写的《Introductory Algebraic Number Theory（代数数论入门）》，这是一本写得十分清楚、推导很详细的代数数论入门教材
图6：H. M. Edwards用历史途径法写的《Fermat's Last Theorem：A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory（费马大定理：代数数论的原始导引）》，它是著名的GTM（研究生数学课本）丛书中的一本教材。作者在该书的前言中这样说道：“正如本书第二个标题（genetic introduction）所指明的那样，本书所采用的基本方法是历史途径法（genetic method）。词典上对genetic method的定义是‘用起源和以后的演变发展来解释和评价某一事物或事件’。在这本书里，我试图解释这个理论中最基本的方法和概念，并通过追溯几位数学大师（费马、欧拉、拉格朗日、高斯、狄里克莱和库默尔等人）工作的起源和以后的演变发展，尽量使这些方法和概念看起来是十分自然、简单，而又非常有效的。”
图7：K. Ireland等人写的《（现代数论经典引论）》（第2版），该书是GTM丛书中的一本，它从初等数论开始讲起，包括了代数数论与解析数论最基本的思想方法，并且一直讲到了20世纪的算术几何，是一本全面介绍数论领域的入门好教材
图8：Y. I. Manin等人写的现代数论百科全书类著作《Introduction to Modern Number Theory（现代数论导引）》，该书全面介绍了20世纪数论领域里最新和最重要的成果。在此过程中，该书还从专业的角度给出了著名数学家怀尔斯（A. Wiles）对费马大定理严格证明过程的概要
