不要只是在难题上下功夫，也可以在内容上下功夫

标题 | 关于数学教育知识链的传递问题
作者 | 黎景辉（时任首都师范大学数学科学学院讲座讲授）
来源 | 数学教育学报（2014 年 2 月  Vol.23, No.1）

黎景辉

作者介绍：黎景辉教授是国际知名数学家，研究方向为代数数论。黎教授 1974 年获得耶鲁大学博士学位，师从著名数学家Robert Langlands。黎教授曾在香港中文大学、悉尼大学等高等学府任教，现在是首都师范大学讲座教授。黎教授有很多非常优秀的著作，如教科书《二阶矩阵群的表示与自守形式》《高等线性代数学》《模曲线导引》《拓扑群引论》《代数群引论》《代数数论》，还有很多面向大众的值得反复品读的文章。

本文摘要：数学教育是知识传递链。新的数学，特别是改变数学基本性质的新发现，对这个知识链的内容产生压力。Voevodsky 用拓扑学的同伦论建立了新的数学基础，这里对新知识在数学教育链传递的一些问题、建议和对英才数学教育的影响进行探讨。

关键词：数学教育；知识链；英才数学教育
中图分类号：G420 文献标识码：A
文章编号：1004-9894（2014）01-0009-07

小学中学大学数学教育是一个连在一起的有机体，变动任何一部分都会影响全身。可以把从小学到大学的数学教育看作一个知识传递链，也可以做个模型把这个知识传递链看作一根水管，数学知识就在这水管中流着。

记得杨振宁先生的父亲杨武之教授说，民初中国大学数学系只是讲授三角、几何、二次方程。今日这些已是中学数学的标准课程。这就是研究者在这里所讲的：数学知识在这管里流着，以前是大学数学的内容，现在已经流到中学去了。同样，现在大学本科数学的主力课程是矩阵线性代数，欧拉-黎曼式微积分，微分方程是 19 世纪的数学，在 21 世纪是否可以把这些课程下移，是否可以在大学本科讲授多一些 20 世纪的数学呢？

现代科技高速前进，新的数学和数学新的应用不断涌现。就像在水管的源头不停有水涌出来要灌入这水管里。举个例子，Voevodsky（北京 2002 年 Fields 奖得主）在 2012 年提出：当今的数学已是在末路。现行以集合论作为基础的数学已没法解决数学以内至工程之中的数学问题！他高举新的数学革命旗帜，他提出 Homotopy Type Theory 作为新的数学基础，重新再造数学！这个新的数学革命会引起什么数学教育的问题呢？

这里要讨论的是中学、大学数学教育整个知识链在新世纪要面对的一些问题与困难。

过去几百年每代的人都会听到几次“新数学”这句话。这个“新”字有“时间”的意义。相信未来会有许多“新”的数学会出现。不过在这里只想谈谈 Voevodsky 的革命性的“新”的数学基础！

借 Voevodsky 的革命性的“新”的数学基础为例子提出这样的问题：要设立什么机制使得“新数学”是经常的、连续的溶入大、中、小学的数学课程。这里不是指十年一次那种天翻地覆的大改变。

在工业技术上国外企业重视知识链的高速传递。中国企业与国外企业的差距表现在自主创新能力的不足。国外企业重点投入新原理、新技术的创造与应用。国际电脑公司 IBM 的 Watson 研究所竟是一座城（Yorktown Heights, 纽约州）！为了快速投产，中国企业往往是型号牵引跟踪式的研究。忽视知识链的整体性和传递速度。中国的工程师从来没有看过美国或俄国现役的第五代的攻击核潜艇和洲际导弹核潜艇，只好试验造第二代的核潜艇。中国十万人航天工业的探月技术是有个别的突破，但整体技术还未达到 40 年前美苏可以做到的。一位两弹一星专家曾经提醒道：“我们不知道他们怎样做，他们知道的也不会告诉我们。”不要忘记 20 世纪六七十年代的间断，今日中国还是不会造电脑晶片（CPU）, 大型喷射机用的涡扇发动机，大型船舰用的核反应堆，射程 1.5 万公里多弹头重型固体燃料导弹，巡航导弹所携带的小型核弹头，鱼雷发射潜艇对空导弹。也许这些只是需要改进现有数学的应用，不过如果一个“新”的数学成功了，继而引起工业技术的大革新，但我们的数学教育却没有适当地反映这些新潮流，以至自己的工艺又落后几十年！那大家的过失就大了！

Voevodsky，苏联人，莫斯科国立大学毕业，美国哈佛大学博士，导师是苏联人 Kazhdan，现为在美国 Princeton 的高等研究所（IAS）教授（编者注：Voevodsky教授于2017年逝世）。Voevodsky 第一个创新的工作是用多值映射解决在代数几何范畴是没有足够多代数映射可用来构造连续同伦的问题。用此他解决 Milnor 的一个代数 K 理论里关于二次型的问题，在 2002 年获得菲尔兹奖（2002 年第 24 届国际数学家大会在中国北京举办，颁奖式在北京人民大会堂举行）。

在此简单地介绍这个“新”的数学基础。故事要从 19 世纪末 20 世纪初开始。那时数学家极希望把数学建立在一个严密没有内存矛盾的基础上。当时研究数学基础（Foundation of Mathematics）的 3 个主要派系是：

(1)Formalism（形式派）。这一派认为数学是一个形式系统。所谓形式系统包括：符号、公理、推理法则和定理。可以把推理法则看作符号的组合法则 (deduction rules are combinatorial rules)。形式系统的基本要求是不存在互相矛盾的定理。形式系统是与现实世界知识互相独立。正如讨论数学与物理的关系，可问：怎样把形式系统内的定理应用到现实世界 (Anwendungsproblem), 但这是形式系统外的问题。主要领导人有 Hilbert 和 Godel。Hilbert 的主要著作：《几何基础》，这是中国从事计算机自动证明的人都很熟悉的一本书。还有他和 Bernays 合著的《数学基础》。

(2)Intuitionism（直觉派）。这一派认为数学的推理只是用了简单的、传统的逻辑，而传统逻辑的推理只是用了“子集”这个想法。实际上没有理由如此地限制推理。他们认为原始的数学概念来自直觉。只容许用构造法 (Constructive Method) 导出新的定义。第一个系统地这样想的人是 Brouwer，其他人还有 Poincaré、Weyl 和 Heyting。

(3)Logicism（逻辑派）。他们认为可以在一个逻辑系统内定义所有数学概念和证明所有数学定理。这样看“数学”是一种逻辑结构。Russel 和 Whitehead 在他们的《数学原理》就建立了这样的系统。亦可参看所引 Frege 的著作。

在这里不打算批判这些观点及解释为什么这些理论的发展忽然停下来。请随研究者跳过一世纪到 2012 年。Voevodsky 提出对数理逻辑中的 Martin-Lof 的直觉类型论 (Intuitionistic Type Theory) 给以同伦论 (Homotopy theory) 解释，以此建立“以计算为基础”的数学。Voevodsky 的观点是：定理的证明是形式系统内在的一部分。证明的正确性的检验就像程序的测试与性能分析一样。在这个观点下，就像类型论岀现在函数式编程 (Functional Programming) 一样，他发展同伦类型论 (Homotopy Type Theory) 作为数学基础。这样他对数学“证明”给了新的定义，本质上改变了数学，所以可以说是一个数学革命。在这种意义下数学会怎样发展呢？Voevodsky 为他的想法开设了一个网站：homotopytypetheory.org。

在这同一时期，哈佛大学的 Jacob Lurie 快将完成了 Quillen 的想法的第一步：把同伦论溶入代数几何。这就是研究者在《谈谈代数数论》(《数学通报》) 一文中所说的第五波：把交换环范畴变为单纯形环范畴 (Category of Simplicial Rings) 得出的代数几何在数论的应用。

Voevodsky 和 Lurie 都在谈同伦论。但是 Voevodsky 讲的是数学基础，什么是证明，如果扩大证明的定义，将会产生很多新的数学。另一方面在 Lurie 的理论，他需要使用 Higher Category 理论，他为此写了一本 Higher Topos 的书。虽然还未弄清楚，Voevodsky 认为他的理论是与 Higher Category 有关系的。

这好像说：同伦论正在揪起一场数学革命，但却没有说：放下现有的一切，推行 Voevodsky-Lurie。研究者只是说：请想想怎样不断地把新思想输入数学教育系统。只是说：有些新思想可能会引起基本的改变，如果传递太慢，会有非常严重的不良后果。目前情况是，不但旧的如 Typed Lambda Calculus，就是新的 Higher Category 在中国没有中文书，也没有在数学系开课！

同伦论只是一个例子而已！相信在计算机理论、物理、化学、生物学将会有新的数学等待大家纳入自己的课程内。比如计算机系讲稠密线性代数 (dense linear algebra)，很少听说数学系开这样的课。

所谓数学教育知识链的“内容”，简单地说，便是学校老师所讲授的数学课的内容。

建议把部分 20 世纪的数学更早地教给部分学生。这将同时影响中学和大学的数学课程。下面将分成两个部分来讨论。

附带说两句：研究者不完全同意西方 20 世纪儿童教育理论，把数学学习看成游戏，把数学的内容全换作日常的实物，表面上学生更易懂、更快乐，结果游戏地位过高，学习态度不严肃，学习内容肤浅，学生养成对科学的结构性的反感与恐惧。请留意 2013 年英国教育部就宣布改革要求换回传统严谨的数学！(见文 [24])。游戏是一种学习方法而已，因人因时而异，切勿以此为主。

研究者也不相信教学生智商测试题便是数学教育。应反对用智商测试题代替数学考试，要注重基础数学的教学与考试，反对那些选择题的简易考法。这只不过是用来筛选的一种平价快速行政手段。得出来的是念口诀做了千万道例题的人，不一定是有学问，会数学，有能力的人。很不幸中国一些机构从西方或中国香港的大学的人事管理学系学来这种所谓现代科学方法用来招聘。智商变得太重要了！

研究者不打算辩论数学教育理论、教育哲学、青少年学习心理学和教育政治学，等等，只想讲内容。新的数学不停地增加。如果我们在 21 世纪的中学大学不多教一些 20 世纪的数学，则中国民众的知识链会岀现像“公路交通堵塞”一样的现象，已经正在学校教的数学不动地停在路中间，另一边新的数学不停岀现在路的前头，无法进入。大家都会同意国民教育不进步对整个国家的经济发展没有好处。

(1) 中学部。研究者建议在高中建立如大学一样的选课制度，让有能力的学生多学点新的数学内容。高中建立适当的课程体系以配合新的数学课程结构，利用选课制度使中学数学教学动态地完成知识传递任务。请注意：当把新的内容放到中学时，并不是说要把这个传递数学的管道的半径加大了，不是说在中学里数学课程加大了，老师的教学量加多了，而是说：当部分大学的内容流到中学去的时候，部分中学的数学内容流到小学去，这样教学量不致改变太大。以下讨论 4 点。

①“矩阵线性代数”。这是可以在中学教的，最少开始时可以讲矩阵与线性方程组求解，将来才加入线性空间和线性变换。

②“欧拉-黎曼式微积分”。可能是受苏联教科书的影响，现在常把“微积分”和“数学分析”合在一起教。结果有相当多的学生两样都学不好！“微积分”这样重要并非常有用的工具学不好，其后的便没法学了。项武义教授在国内出版过一本“微积分”教科书。此书一方面反映把“微积分”和“数学分析”分开教的观点，另一方面反映他在美国数十年教大学的经验。这是很值得参考的教材。研究者认为“欧拉-黎曼式微积分”是可以在中学教的。王昆扬教授尝试过在北京十一学校教“数学分析”。这个试验成功的一个原因是师生都很优秀。对全国中学而言，在中学里从教“微积分”到教“数学分析”是一个需要时间的“内容传递”，是急不来的，也不是立个法便会发生的。

③现在少年都会用电脑。以上矩阵线性代数和微积分都很适合解说应用电脑的好处。随着中学生学会了用电脑解决数学问题，更多人想用 Maple、MATLAB 和 Mathematica 这样的软件。试想全国有 2000 万中学生每人付 200 美元买一份美国的计算软件，对整个国家来说这是一个很大的金钱输出！建议自然科学基金和教育部联手出钱造一个中文版类似 MATLAB 的软件，免费给大家使用；建议教育部成立团队创建和支援免费教育软件；建议中国免费教育软件用免费的公开的 Unix（Linux）来写。

④关于几何的教学内容的两点看法。

（甲）在 20 世纪六七十年代香港的中学教二、三维解析几何学和几何拓扑学（橡皮几何一 rubber geometry, 绳结一 knots）。当时进口的英国教科书现在在香港全都消失了。大概学校已不教了，很可惜。研究者也念过苏步青先生的《高等几何学》，比如书中解释矩阵的对角化与三维空间的二次曲面分类的关系，把矩阵的对角化图象化了，看得见了！今日有电脑之后，无论中学生和大学生都会明白这种几何学，都会容易接受初等的计算几何学。这又可以配合前面所建议的：电脑在线性代数和微积分中使用。20 世纪 60 年代从俄文翻译的一些给中学生看的几何学的书，现在都找不到了，幸好今日有更好的书，如 Shafarevich 与 Nikulin 写的，或者是在网上莫斯科独立大学几何讲义。这些书讲的几何都是有很多图象的。研究者建议加强直观几何学（geometric intuition）的教育。有图可看的几何，可以提供丰富的例子帮助检验抽象的几何学。展开直观几何学的教育的困难之一是教材的问题，尤其是缺乏教科书加上相配的动态几何图象电脑软件。

（乙）现在中学常把学平面几何学习换为难题集中营。学生的几何解题行为已被锻炼成心理学里的条件反射行为。这样，当老师从更高的观点讲平面几何的结构时学生便没有兴趣了。建议完全改变现行的几何教法。在（甲）中注重几何的直观几何对象，在（乙）中直接面对问题：把“公理系统”这个概念作为数学内容在这知识链内下传。利用欧几里得平面几何作为“公理系统”的基本例子来教授“数学结构”。透过公理的变化来理解“公理”与“数学结构”的关系。这样利用“平行公理”的更改就很容易引入 19 世纪的非欧几何的一些基本模型。要把平面几何从难倒学生的题海中解放出来，让学生了解：从假设到结论是一个逻辑推理过程，更理解：由电脑程序所证出来的结果是需要从给定公理开始的。这一种理解和训谏使学生明白包括数学的所有理论科学的基本精神和结构。这种逻辑思维和系统科学是训练科学家和工程师的非常重要的基础。为了中国的工业生命，这是不可以放弃的！这不是不可能做到的，过去 3 年北师大实验中学初中几何教学就成功尝试过。

（2）大学部。建议大学数学课基本化，也就是让部分有能力的学生修读加强基本化的课程。这里想介绍几件可能做的事。

①数学分析。2001 年北京师范大学的王昆扬老师出版了一本全新的“微积分”教科书一一《简明数学分析》。王老师说“打破常规之处，就是用 Lebesgue 积分取代 Riemann 积分……20 世纪创立的 Lebesgue 积分理论克服了 Riemann 积分的缺陷……”这本书真的做：在 21 世纪多教一些 20 世纪的数学。研究者认为不应用这本书去批判这个想法。第一，中国有 300 年写“微积分”教科书的丰富经验，单是中国今天就有上百种“微积分”教科书。王老师这本书是第一本，是个明智的开始吧！这样的事太少了。多些人多写几本，慢慢就把路找出来了，不用等学外国人怎样做的。第二，对那些在中学已学过以计算为本的“欧拉-黎曼式微积分”的学生来说，王老师的说法便是容易自然了。

②逻辑、集合论、一般点集拓扑学与范畴学。这些都是学一些结构性比较强的数学的基础。教师在中学和大学一、二年级都只是教数学计算，所教所考的微积分和线性代数都是标准的电脑程序，如用 MATLAB 和 Mathematica 可以轻易解决。结构性的基本数学却教得少。比如逻辑、公理集合论、一般点集拓扑学和范畴学就很少要求一年级的本科生学习。

20 世纪 60 年代在香港大学的梁鉴添先生带领下，在中学教“公理集合论”（Axiomatic Set Theory）。梁先生为此写了一部很好的集合论教科书。梁先生是周炜良先生的学弟，同是 van der Waerden 的学生。这段时间中国香港训练了一些数学家。后来为了平等，反对部分人学好些，倡议“通识”，结果比较严紧的数学教材便淡出了，只有很少部分可以出国念英才中学的人才有更好的学习数学的机会了。在 20 世纪 70 年代，研究者在香港中文大学就为数学系一年级本科生开“逻辑-集合论”课作为学生学习数学结构与推理的基础训练。最近在北京的书店看看，逻辑书都是为计算机系、哲学系和社科院的学生写的。在买书网上想找一本莫绍揆先生的逻辑教科书也找不到。

在国内出版用中文写给数学系学生学习的“范畴学”教科书还没有见过。暂时不要说要详细地教“范畴学”，但教 30 页的范畴学是会帮助学生理解更多结构性的问题。计算机系就常教“范畴学”，这本来是数学系的东西，数学系的学生反而不懂，是教师的错。

Bourbaki 的数学系统就以“集合论”和“一般点集拓扑学”为起点。实数就在“一般点集拓扑学”内讲了。并不是说全国都要学 Bourbaki, 而是说占全世界五分之一人口的大国能容纳得起多种学习数学的方法，有一些人可以学的。Bourbaki 方法是帮助学生学习结构性强的数学方法的厉害工具。

③代数拓扑学。中国有一套很好的、北大版的“代数拓扑学”教科书：江泽函《拓扑学引论》, 姜伯驹《同调论》, 廖山涛、刘旺金《同伦论基础》。现在没有多少人用这套书来教学生了。国内还未有人写过一本像 Godement 写的 Topologie algebriques-Theorie Faisceaux 的代数拓扑学教材。最近国外的同伦论教科书是有较大的变动。比如：Arkowitz,2011。如果看看 Brown(Annals,2012) 的 Deligne 的 Mixed Tate Motive 猜想的证明，他们用的同伦论的背境是 Bousfield-Kan。看看 Elmendorf 等人的书又是另外一种同伦论了。此外还有 Voevodsky 和 Lurie 两个人的同伦论。这样看来，中国学者在同伦论的基本课教学已经有很多事要做了。

培育英才是教育工作者们的一个共同的希望。“数学英才教育”可以解释为：让部分学生“先富起来”, 就是说：让部分同学抽出部分时间提前学习比较先进的数学技术。

不敢说所有人都是这样解释“英才教育”。比如有一种做法是把目前现有课程范围内的习题变为更难的题目，让学生不停地操练，以求在中学到大学的高考或大学到研究院的考研取胜。

研究者建议，“英才教育”多走一条路。就是把部分内容向下移：中学的移向小学，大学的移向中学。在现有的课时容纳新的内容。不要只是在难题上下功夫，也可以在内容上下功夫。

自古以来读书是为了找工作。戏曲里就常见穷书生上京考试为做官的故事。今日学生上大学主要是冲着文凭，希望毕业后拿着文凭找个高薪的工作。这是全世界的现象。这样的学生会经常问：老师你现在讲的东西跟我将来的工作有什么关系？如果是“术科”如医、工、法、舞，这样的问题还好答。如果是“学科”如中文、数学，除了说句“考研有用”就不好答了。

正当学生迷失在学习与对工作的憧憬之间的时侯，上课的老师和做思想工作的便多了一份工作，改变“真想学的不多”这种现象，帮助学生相信，来到大学的第一件事是：学。

这里所提出的“英才教育”可以帮助解决这个问题。以内容代替难题来增加学习的兴趣，把注意力引回到数学上。增加基本结构上的训练以减轻日后学习的困难，以便支持学习的兴趣，引起学生的好奇心，以激发学习的动力。过去 100 年数学里便有很多新概念和新想法。这些都不需要很多背景知识便可以透过关键例子说明。讲述和学习这些新的内容会比做难题更容易而且有趣多了。

“英才”两个字引起一些老师的回应是：我系不是训练“数学家”的。陈省身就说过：中国不需要很多数学家。研究者的回应是：我所谈的内容传递与更新，不是说几个顶级的专家，而是说提高很多人的数学水平。举个例子，300 年前在欧洲会微积分的人已是数学家。今日莫说全球，单是中国会微积分的工程师就不知有多少。既然不知有什么数学有什么用，数学系帮更多人学更多数学是好的，数学系不单只是训练“数学家”的。

正当大家在忧虑怎样把现有的新学问教给孩子的时侯又有教育家说觉得小学数学太难，应该把学校数学由难变为易。所以这里的困难是内外兼有的。这里所说的“英才”数学教育是建议把大中小学的数学水平整体提高到欧美比较好的学校的水平。不应该去学外国失败的经验或所谓平均水平而牺牲了中国最好的孩子，他们是中国科技工业的希望。容易从“英才”推出“不公平”——“为什么我的孩子不是‘英才’？”把学生的数学能力的分布看作一个谱，就像天虹是太阳光的光谱。公平的教育不是把这个能力分布谱强压缩为一点！弱智的有特殊教育去帮他们，超智的有英才教育去帮他们，这样把整个数学能力分布谱拉高。公平的数学教育是把所有的学生的数学水平提高，不同的学生的“高”是不同的。如此“英才”教育便是大众教育的一部分了。

有些外国大学对本科生开 Advanced Program。每个年级抽最好的 20% 参加。在这些 Advanced Program 中数学内容就加强很多。比如常见在本科一年级上学期以 Dieudonne 的 Foundation of Modern Analysis 来教微积分，这本书的微分是在 Banach 空间上来讲的。多变元微积分是用普林斯顿大学 (Princeton University) 的 Nickerson, Spencer, Steenrod 写的 Advanced Calculus, 这本微积分书已讲层论 (sheaf theory) 了。到四年级下学期学生已经学过交换代数，所以可以用 Hartshorne 的 Algebraic Geometry 来教代数几何了。相比之下国内能够开出 20 世纪 50 年代翻译的斯米尔诺夫五卷工程数学的数学系已不错了。硕士班只能开出读导师的论文的预备役。至于拓扑群、交换代数、范畴学、层论和同伦论恐怕只有一小部分的系能全开出来。大学本科生很难得到一个全面的 20 世纪数学教育。

国内外都有优秀的中学，它们培养出多名出色的科学家，想非偶然。也许他们是不自觉地理行了上面所提出的“英才教育”。例如，浙江嘉兴的秀州中学，人才辈出，孕育出了陈省身、李政道、顾功叙、谭其骧、周廷儒、周廷冲、钱俊德、方怀时、潘文渊和程开甲十名院士。美国纽约市的 Bronx High School of Science 是另一个例子。这所公立中学的毕业生中有 7 个人获得了诺贝尔物理学奖，1 个人获得了诺贝尔化学奖及 29 个美国科学院院士。在美国麻省的 Andover 有一所古老的著名私立中学 Phillips Academy 的毕业生就有 3 人获得了诺贝尔奖。

在德国长期以来中学分为两种：Gymnasium 和 Schule。科学家大都是念 Gymnasium 毕业。这些学校的数学课的内容和水平都比较高。他们的老师常是有博士学位，甚至会是著名的数学家。比如 Grassmann 就是一位 Gymnasium 老师！

在巴黎大学苏邦 (Sorbonne) 校区旁边有两所著名的中学：Lycee Henri IV 亨利四世中学和 Lycee Louis Le Grand 路易大帝中学。他们开办 Classes preparatoires aux grandes ecoles(简称为 CPGE 或 prepas) 特别训谏巴黎地区最优秀的中学去投考 grandes ecoles(高等学校)。这些班当然不只教“线性代数”和“微积分”了。他们就这样理行研究者上面所提出的“英才教育”。

在法国很多数学家都是巴黎高等师范学校 (ENS) 的毕业生。这所高师是法国所谓 grandes ecoles(高等学校) 的其中一所，这些 grandes ecoles 在法国被认为是比大学高一级的更好的大学。巴黎高师的老师是由全法选出当时最好的年轻数学教授轮流当的。每个老师教了 3 年到 5 年后便回到他自己原来的学校。如此法国把精力最旺盛的，在想象力最丰富年纪的数学人才聚在一起发挥无穷的威力。法国有 11 个菲尔兹奖。河南省的人口大概是法国的两倍。如果按人口的比例，河南省应有 20 个菲尔兹奖。如果说“自己训谏出来”的意思是指“中学、大学、研所、博后”都是在本国完成的，那中国还未有一个“自己训谏出来”的菲尔兹奖。可以说这不是有多少人的问题，也不是没有好的学生。研究者相信问题在于教育投资分布与选项及制度。当然一个人得了菲尔兹奖只是反映了把他培训出来的国家的数学能力以至工业实力。请看只有河南省一半人口的法国出口 Airbus 民航飞机，出口 Lafayette 级稳形护卫舰，出口 Mirage 战斗机，出口发电用的核子反应堆，制造高涵道比涡扇发动机，制造欧洲宇航局所用的 Ariane 火箭，制造美国以外唯一的核动力航空母舰。一个占人类五分之一的全球第二大的经济大国对人类知识文化的贡献和在数学的投资比起德法二国相对低了很多！

假如大家支持中国在 21 世纪多教一些 20 世纪的数学，则立刻会有因为执行而产生的许多问题。相信大家一直在讨论这些问题。

(1) 学生的能力。

首先要考虑学生的能力。要同时照顾有数学能力的学生及其他的学生，建议在高中成立选科制，让有数学能力的学生选读比较先进的课题。暂称此为：中学数学课多渠道化。

应该接受的事实：到高中时每个学生都会有不同的能力，有些科学，有些会说话，有些会跳舞，学生各有所长，老师各育所长。可以对高中学生的数学水平有一个起点的要求，但不应要求所有的学生的水平是一样的。否则便扼杀了突破的机会。给以时日，慢慢地渗透，数学水平高的学生把其余的学生的水平也拉高，这样便进步了，这是一个缓慢的过程。不应该因为小部分落后了，就把全队停下来，甚至后退——把数学课的水平越拉越低，要接受长的战线，让部分学生在前面作战！

现在的孩子是在一个知讯稠密的环境 (Information dense environment) 下长大的。他们有强烈的求知欲，他们对世界有自我发现与表达的愿望。让大家以新的数学内容帮帮这些孩子健康地成长！

(2) 中小学老师的水平。

在职的老师在师范念书的时候不一定学过这些新的材料。研究者相信会有老师乐意接受新材料带来的挑战。但是他们去那里学习怎样教些新材料呢？除了新的数学内容，怎样做习题，怎样设计习题呢？还有当老师学了，教了这些新的内容，怎样奖励他们呢！不要忽然有 3 年全国中小学老师都去念个硕士学位，师范大学做了 3 年生意又什么都没有了，而这些“3 年忽然硕士”，会有太多是没有料子的。怎样把这个变成慢慢进行的可控过程呢？

(3) 师范大学剩余产能。

自 2000 年后，大学扩招，很多地方的师范大学数学系的毕业生人数已超过本地区的新增教席数目。师范大学是有剩余产能的，如果师范大学利用剩余产能为在职老师开设硕士课程，帮助在校老师学习教新的材料，这样一方面解决了老师水平不高的问题，并且使用了师范大学的剩余产能。

在中国台湾，一些师范大学没有处理好剩余产能，只好转型为法商学校，开办医、工科要太多经费了。在国内一些师范学院的舞蹈学系的办公楼是十倍数学系的办公空间，早就看不起数学系的产能价值了。

(4) 执行程序。

绝对不建议由教育局一纸命令全面执行。建议用渗透式，慢慢地增加内容，慢慢地增加地区。由大城市扩展到小城市，再扩展到乡村。由最好的中学传到其他中学。由一本大学传到其他大学。

还有一个执行的问题：就是教纲问题。因为教纲的确定，教师只会按要求讲授内容。大部分老师不愿意教授更高阶的内容：①因为他得不到便宜；②家长投诉；③学校评分压力；④地方教育局反对。所以当要改变这个数学一一知识传递链的时候，不单单要教师出力，还要管教师的支持，真难。

(5) 考试。

不可低估考试对英才数学教育的明显意义。不考试的东西是没有人要学的，没有校长和党委支持去教的。所以内容的革新便会引起可考科目的改变，以至考试的形式。比如要引入考试选科的形式。也就是说，除了基本数学科之外，还要增加进步数学科，让部分学生选考。就是说新内容要纳入高考命题范围内。

美国的一般大学入学考试 (SAT) 数学部分就分两个级别：Level 1 和 Level2。英国伦敦的一般文凭考试 (GCE) 是中学毕业生的考试。GCE 有普数 (General Mathematics)、高数 (Advanced Mathematics) 和进数 (Further Mathematics)3 层的考试给学生选择。所有学生都考普数，要到大学念理、工、医、经的学生加考高数，只有那些有兴趣，有能力去念数学系、物理系的学生才会全考普、高、进 3 卷。这样对一般的中学生只考普数压力不会很大。把考试的内容分开也分散了对学生的压力，对家长给老师的压力，是很值得借鉴的。

下面谈谈“学”与“考”的矛盾。国家对于各级升学（小学→初中，初中→高中，高中→大学）只能采取考试的办法，这是目前最公平的录取方法。小老百姓只能尽全力让孩子考高分，进入好大学，改变贫苦的命运。老师为了帮助学生，为了本人的业绩只好加强作业，课后作业，甚至开补习班。学生便“忙死”了。在这样的情况下，内容多样化，新内容，新考试，对整个制度有新增压力，学生更惨了。最近一两年，教育部强令“减轻学生负担”，小学生不许留课外作业，明确宣布各级升学不许与各学科的竞赛挂钩。但老师们以变相的方式大留作业，学生家长让孩子参加各种课外班的热情不减，因为这样才能使得学生面临各种考试中胜算较大。这个“学”与“考”的矛盾是不可以由教育工作者解决的。

国家办学为了提高人民的知识水平，以保护人民在现代科技社会的生产力。当听说电视报导说本地大学毕业生的平均工资是每月 4000 元时，人们就认为在大学坐四年便等于每月 4000 元，这是很大的误会，这是社会问题，不是数学教育问题。

(6) 教材。

新内容需要新教材。在美苏用的不一定适合中国用。在研究所用的不一定适合大学本科用。一个好的例子是：在数学科非常重要的出版 Springer 就有两个系列：Graduate Text in Mathematics, Undergraduate Text in Mathematics(Universitext)。

在写教材之前，第一便是背景资料没有充分散播在学校内。比如参考文献所引的关于数学基础的文章书籍在中国就不容易找到。即便找到那种介乎哲学与数学之间的德语、法语的书籍亦不是容易懂的。远一点可以问：为什么网络上的云端技术不是在中国发起呢？为什么美国有全世界最好的计算机编程人材呢？除了经济原因之外，可以说因为过去 100 年，中国无论工业界、研究所和大学都是要产品，只要学造成品，管理的领导都要“讲得出，看得见，卖得出去”的东西。但发展编程技术是有文化背景的，如数学基础→同伦论→函数式编程→以计算作为数学基础（Voevodsky）。不可以只教最后一步，比如微积分只教初等函数的微分和积分，但完全忘掉微积分的力学历史文化背景。

按中国出版社的现行制度编辑的工资与新书出版数目有关。这样过去 60 年来出版过的好书现在都找不到了，出版社不重印了。电脑资讯是日新月异的，10 年前印的关于电脑的书今日可能不大有用。但数学是有累积性的，新是建立在旧的上面，从前出版过写得好的数学教科书今日还是可以用来学习的。但是，去哪里找这些书呢！比如在国外，像 Bourbaki 的书不会因为它旧就找不到。举个例子，不可以说在北京国家图书馆找到廖山涛的《同伦论基础》就可以，作者在肇庆学院就找不到！从广州坐普通的慢火车一个小时便到肇庆！远一点的如甘肃的武威，云南的临沧，黑龙江的佳木斯更就不敢说了。

为了让偏远地区的学生都可以学，让每一代学生都可以买来念，建议科学出版社、上海科技出版社、高等教育出版社、人民教育出版社联手成立一个联合重印社，从他们有版权的旧书中选出一套基本数学好书系列，经常保持印刷，平价卖出。

研究者支持用中文写关于基本数学的书籍。因为：第一，对大多数中国学生来说，用中文学习新的概念是比较容易的；第二，一个民族没有自已数学语言是没有希望的。

(7) 选课。

华罗庚先生说过数学生要学多个外语。当然不是每个人都有很多学外语的天分。研究者曾向一位系主任建议要求数学系本科生每学期念一门外语课。他笑说：不可能！第一，学生已经有很多数学之外的课，没有时间了。第二，外语系不愿意教。

熟识中国高校行政的当然了解这件事。研究者亦不想在此讨论解决策略。但是在英美加学生跨系选课的自由度大得多了。在欧洲研究生甚至可以到别的学校，别的国家选课。

这跟数学有紧密关系。第一，外语对学数学的人非常重要。在目前的结构下，数学系学生的外语只好自学自教了。第二，举个例子。大家关心 CLAY Institute 的 Millenium Prize。其中一个问题是关于 Navier Stokes 方程。也许学点流体力学会帮助解决这个问题。如果数学系不开办此课，只好去物理系或工程学院了。在目前的结构下，这是不可能的！那么大力推举支持交叉科学怎样实现呢？

(8) 资源。

大城市的教育局有更多的资源，大城市的父母有更强的经济能力，大城市的孩子的数学教育比城外的孩子好。在统一考试，在数学竞赛里大城市的孩子便脱颖而出。不是每一个大城市的数学成绩好的孩子真的对数学有兴趣，真的有天分，离开了这个“吃维生素”的环境便转业了。同时小地方的有天分的学生没有办法接触到一流的老师，前沿的教材，优良的学习资源和环境。在教育资源的不平衡下很可能埋没了小地方有数学天分的学生，牺牲了国家宝贵的人力财产。

这和新的数学内容传递有什么关系呢？虽然不能希望老师离开大城市跑去乡村工作，但是希望大家慷慨地把大城市的资源所产生的新内容免费传到城外的教育系统内。例如在网上发布录像或制成 DVD 分发。

大城市的教育局支持大城市的老师去小地方的学校交流。要小地方的老师变为考试教练可能难，也许请他们学点新的数学内容教给学生会比较易吧！

回顾过去一世纪的科技成就，无论是电话、电视、电脑、雷达、火箭、人造卫星、天气预测、人体血液力学、人脑扫描、人口控制、银行利息定价、财经产品设计，等等，都离不开数学。相信在 21 世纪也会是这样。新的数学为新的科技提供表达和计算的平台。所以，有必要把新的数学传入中国的教育链，以免又落后他国一步。

研究者提出的是数学教育知识链上新知识的传递问题。研究者的建议是：中学数学课多渠道化，大学数学课基本化。希望引起群众为文讨论，定计实行这一项数学教育工程。

改革是牵一发则动全身。大家都知道这是“说易行难”之事。不是两三个老师的事，是一个需要有足够多的老师和干部的认同、参与和支持的事，是我们的梦。

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